Question

【题目】如图，为的直径，和过点的切线互相垂直，垂足为，直线、交于点，交于点．

（1）求证：平分；

（2）若，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）

【解析】

（1）先通过切线的性质和垂直得出，然后有，再根据等腰三角形的性质有，通过等量代换即可得出，则结论可证；

（2）方法一：先利用圆周角定理和圆内接四边形的性质得出，然后利用得出，则DF可求，进而AD可求，利用勾股定理可求出AC的长度，然后利用得出，进而求出AB的长度，最后利用平行线分线段成比例求解即可；

方法二：先利用圆周角定理和圆内接四边形的性质得出，然后利用得出，则DF可求，进而AD可求，利用勾股定理可求出AC的长度，然后利用得出，进而求出AB的长度以及然后利用得，最后利用求解即可．

（1）证明：如图，连接，

和过点的切线互相垂直，垂足为，

，

是过点的切线，

．

．

．

．

．

．

．

．

即平分．

（2）方法一：

如图，连接，，．

是的直径，

，．

．

∵，

由（1）知．

．

四边形是圆内接四边形，

，

，

．

由（1）知，

．

．

．即．

解得或（舍）．

．

在中，．

在和中，，，

．

，即．

．

，，

．

，

，即．

．

方法二：如图，连接，．

是的直径，

，．

．

∵，

由（1）知．

．

四边形是圆内接四边形，

，

，

．

由（1）知，

．

．

．即．

解得或（舍）．

．

在中，．

在和中，，，

．

，

即．

．

∵，

，

．

，，，

．

，

，

，

，．

，即，

，

．