Question

已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A旋转．

（1）如图，当点E旋转到DA的延长线上时，△ABE与△ADG面积之间的关系为：S_△ABE______S_△ADG（填“＜”“=”“＞”）；
（2）如图，当正方形AEFG旋转任意一个角度时，S_△ABE______S_△ADG（填“＜”“=”“＞”），并说明理由；
（3）如图，四边形ABCD、四边形AEFG和四边形DGMN均为正方形，则S_△ABE、S_△ADG、S_△CDN和S_△GMF的关系是______．
（4）某小区中有一块空地，要在其中建三个正方形健身场所，其余空地（图中阴影部分）修成草坪，其中一个正方形的边长为6m．另外两个正方形的边长之和为10m，则草坪的最大面积为______m²．

Answer 1

解：（1）相等，故答案为相等．

（2）过点E作△ABE中AB边上的高，交BA延长线于点P，过点G作△ADG中AD边上的高，交AD延长线于点Q，如图，
∵正方形ABCD和正方形AEFG中，∠BAD=∠EAG=90°，
∴∠EAP+∠GAP=90°，
∠QAG+∠GAP=90°，
∴∠EAP=∠DAG，
∵AE=AG，∠EPA=∠AQG=90°，
∴Rt△AEP≌Rt△AGQ，
∴EP=QG，
而AB=AD，
∴S_△ABE=AB×EP=S_△ADG=AD×QD．
故答案为“=”．


（3）根据（2）的推理过程可知，S_△ABE=S_△ADG=S_△CDN=S_△GMF．
故答案为“相等”．

（4）设AD=6，AG=x，GD=10-x，设△ADG的面积为S，
由海伦公式可知：S==4，
当x=5时，S取得最小值，为12，
则由于四个三角形面积相等，故阴影部分的最大面积为12×4=48．
故答案为48．
分析：（1）根据面积公式可直接看出△ABE与△ADG是等底等高的关系，所以面积相等；
（2）过点E作△ABE中AB边上的高，交BA延长线于点P，过点G作△ADG中AD边上的高，交AD延长线于点Q．利用正方形和直角三角形的性质可证明△AEP≌△AGQ，即EP=QG，AB=AD，所以△ABE与△ADG也是等底等高，它们的面积关系是相等．
（3）与（2）的过程类似．
（4）设AD=6，AG=x，GD=10-x，利用海伦公式表示出一个三角形的面积，建立关于x的一元二次方程，求其最大值即可．
点评：本题考查了旋转的性质和相似三角形的性质，利用海伦公式求出一个阴影三角形的面积的最小值是解题的关键．