Question

已知抛物线y=ax²-2ax-3a（a<0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点。
（1）求A、B的坐标；
（2）过点D作DH丄y轴于点H，若DH=HC，求a的值和直线CD的解析式；
（3）在第（2）小题的条件下，直线CD与x轴交于点E，过线段OB的中点N作NF丄x轴，并交直线CD于点F，则直线NF上是否存在点M，使得点M到直线CD的距离等于点M到原点O的距离？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）由y=0得，ax²-2ax-3a=0，
 ∵a≠0，
∴x²-2x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴点A的坐标（-1，0），点B的坐标（3，0）；
（2）由y=ax²-2ax-3a，
令x=0，得y=-3a，
∴C（0，-3a），
又∵y=ax²-2ax-3a=a（x-1）²-4a，
得D（1，-4a），
∴DH=1，CH=-4a-（-3a）=-a，
∴-a=1，
∴a=-1，
∴C（0，3），D（1，4），
设直线CD的解析式为y=kx+b，
把C、D两点的坐标代入得，，
解得，
∴直线CD的解析式为y=x+3；
（3）存在．由（2）得，E（-3，0），N（-，0），
∴F（，），EN=，
作MQ⊥CD于Q，
设存在满足条件的点M（，m），
则FM=-m，
EF=，
MQ=OM=，
由题意得：Rt△FQM∽Rt△FNE，
∴，
整理得4m²+36m-63=0，
∴m²+9m=，
m²+9m+
 

∴m₁=，m₂=-，
∴点M的坐标为M₁（，），M₂（，-）。