Question

9．如图，抛物线y=a（x-1）（x-3）与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，其顶点为D．
（1）写出C，D两点的坐标（用含a的式子表示）；
（2）设S_△BCD：S_△ABD=k，求k的值；
（3）当△BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式．

Answer 1

分析 （1）令x=0可求得C点坐标，化为顶点式可求得D点坐标；
（2）令y=0可求得A、B的坐标，结合D点坐标可求得△ABD的面积，设直线CD交x轴于点E，由C、D坐标，利用待定系数法可求得直线CD的解析式，则可求得E点坐标，从而可表示出△BCD的面积，可求得k的值；
（3）由B、C、D的坐标，可表示出BC²、BD²和CD²，分∠CBD=90°和∠CDB=90°两种情况，分别利用勾股定理可得到关于a的方程，可求得a的值，则可求得抛物线的解析式．

解答 解：
（1）在y=a（x-1）（x-3），令x=0可得y=3a，
∴C（0，3a），
∵y=a（x-1）（x-3）=a（x²-4x+3）=a（x-2）²-a，
∴D（2，-a）；
（2）在y=a（x-1）（x-3）中，令y=0可解得x=1或x=3，
∴A（1，0），B（3，0），
∴AB=3-1=2，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$×2×a=a，
如图，设直线CD交x轴于点E，设直线CD解析式为y=kx+b，

把C、D的坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{b=3a}\\{2k+b=-a}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2a}\\{b=3a}\end{array}\right.$，
∴直线CD解析式为y=-2ax+3a，令y=0可解得x=$\frac{3}{2}$，
∴E（$\frac{3}{2}$，0），
∴BE=3-$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$
∴S_△BCD=S_△BEC+S_△BED=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×（3a+a）=3a，
∴S_△BCD：S_△ABD=（3a）：a=3，
∴k=3；
（3）∵B（3，0），C（0，3a），D（2，-a），
∴BC²=3²+（3a）²=9+9a²，CD²=2²+（-a-3a）²=4+16a²，BD²=（3-2）²+a²=1+a²，
∵∠BCD＜∠BCO＜90°，
∴△BCD为直角三角形时，只能有∠CBD=90°或∠CDB=90°两种情况，
①当∠CBD=90°时，则有BC²+BD²=CD²，即9+9a²+1+a²=4+16a²，解得a=-1（舍去）或a=1，此时抛物线解析式为y=x²-4x+3；
②当∠CDB=90°时，则有CD²+BD²=BC²，即4+16a²+1+a²=9+9a²，解得a=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（舍去）或a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，此时抛物线解析式为y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x²-2$\sqrt{2}$x+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$；
综上可知当△BCD是直角三角形时，抛物线的解析式为y=x²-4x+3或y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x²-2$\sqrt{2}$x+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、三角形的面积、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意抛物线顶点式的应用，在（2）中用a表示出两三角形的面积是解题的关键，在（3）中由勾股定理得到关于a的方程是解题的关键，注意分两种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．