Question

21、如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，AB=BF，∠F=∠CDE．
（1）求证：AB=CD；
（2）连接AE，若AE=DE，求证：四边形ABCD是矩形．

Answer 1

分析：（1）根据E是BC的中点，得出BE=CE，再利用∠F=∠CDE，∠BEF=∠CED，得出△BEF≌△CED即可得出答案；
（2）首先证明四边形ABCD是平行四边形，利用等腰三角形的性质得出∠ABF=90°．

解答：（1）证明：∵E是BC的中点，
∴BE=CE．
∵∠F=∠CDE，∠BEF=∠CED，
∴△BEF≌△CED．（1分）
∴BF=CD．（2分）
∵AB=BF，
∴AB=CD．（3分）

（2）证明：∵∠F=∠CDE，
∴AB∥CD．
由（1）知AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．（4分）
由△BEF≌△CED，得EF=DE．
∵AE=DE，
∴AE=EF．
∵AB=BF，
∴EB⊥AF．（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）
∴∠ABF=90°．（6分）
∴□ABCD是矩形．（7分）

点评：此题主要考查了三角形的全等的证明以及平行四边形的性质和矩形的证明方法，此题综合性较强注意知识之间的联系．