Question

如图1，直线y=x与直线y=-2x+4交于点A，点P是直线OA上一动点，作PQ∥x轴交直线y=-2x+4于点Q，以PQ为边，向下作正方形PQMN，设点P的横坐标为t．
（1）求交点A的坐标；
（2）求点P从点O运动到点A过程中，正方形PQMN与△OAB重叠的面积S与t的函数关系式；
（3）是否存在点Q，使△OCQ为等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意可联立得方程组

y=x y=-2x+4

，解此方程组即可求得交点A的坐标；
（2）由P（t，t），PQ∥x轴交直线y=-2x+4于点Q，可得Q（

4-t

2

，t），然后由当点N落在x轴上时，PN=PQ，求得t的值，然后分别从当0＜t≤

4

5

时与当

4

5

＜t≤

4

3

时去分析求解即可求得答案；
（3）首先求得点B与C的坐标，继而求得BC的长，再分别从若CQ₁=OQ₁，若OC=CQ=4与若OQ₄=OC=4时去分析求解即可求得答案．

解答：解：（1）联立得方程组

y=x y=-2x+4

，
解得：

x= 4 3 y= 4 3

，
故交点A的坐标为A（

4

3

，

4

3

）；

（2）∵P（t，t），PQ∥x轴交直线y=-2x+4于点Q，
∴Q（

4-t

2

，t），
∴PQ=

4-t

2

-t=

4-3t

2

，
当点N落在x轴上时，
∵PN=PQ
∴t=

4-3t

2

，
解得：t=

4

5

，
①当0＜t≤

4

5

时，S=t•

4-3t

2

=-

3

2

t²+2t；
②当

4

5

＜t≤

4

3

时，S=PQ²=（

4-3t

2

）²=

9

4

t²-6t+4；

（3）存在点Q，使△OCQ为等腰三角形．
∵点C是直线y=-2x+4与y轴的交点，与x轴交于点B，
∴点C（0，4），B（2，0），
即OC=4，OB=2，
∴BC=

OC2+OB2

=2

5

，
①若CQ₁=OQ₁，过点Q₁作Q₁D⊥OC，
则OD=

1

2

OC=2，
当y=2时，即-2x+4=2，
解得：x=1，
∴点Q₁（1，2）；
②若OC=CQ=4，
过点Q₂作Q₂E⊥OC于点E，则Q₂E∥OB，
∴△CQ₂E∽△CBO，
∴

Q2E

OB

=

CQ2

BC

，
即

Q2E

2

=

4

2 5

，
解得：Q₂E=

4 5

5

，
∴当x=

4 5

5

时，y=-2×

4 5

5

+4=4-

8 5

5

，
∴点Q₂（

4 5

5

，4-

8 5

5

）；
同理：点Q₃（-

4 5

5

，4+

8 5

5

）；
③若OQ₄=OC=4时，过点Q₄作Q₄F⊥x轴，
设点Q₄（x，-2x+4），
∴x²+（-2x+4）²=16，
解得：x=

16

5

，x=0（舍去），
∴点Q₄（

16

5

，-

12

5

）；
综上可得：一共有4个点满足，分别为：Q₁（1，2），Q₂（

4 5

5

，4-

8 5

5

），Q₃（-

4 5

5

，4+

8 5

5

），Q₄（

16

5

，-

12

5

）．

点评：此题考查了一次函数的性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．