Question

如图1，直线y=x与双曲线y=

k

x

（k＞0，x＞0）交于点P，PA⊥x轴于A，S_△PAO=

9

2

．
（1）求k的值．
（2）如图2，点E是y轴负半轴上一动点，点F是x轴正半轴上一动点，且PE⊥PF，求OF-OE的值．
（3）如图3，将点A向右平移5个单位长度得点M，问：双曲线y=

k

x

（x＞0）上是否存在点Q，使S_△QPO=S_△MPO？若存在，求Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由P为y=x与反比例函数的交点，得到P在y=x上，故设P（a，a），且a大于0，可得出AP=OA=a，由三角形AOP为直角三角形，且面积已知，利用三角形的面积公式列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出P的坐标，将P的坐标代入反比例函数解析式中，即可求出k的值；
（2）根据题意过P作PF垂直于PE，交x轴于点F，过P作PB垂直于y轴于点B，先由一对对顶角相等及一对直角相等，利用三角形的内角和定理得出∠BEP=∠AFP，再由一对直角相等，以及BP=OA=AP，利用AAS可得出三角形BEP与三角形AFP全等，利用全等三角形的对应边相等可得出BE=AF，由OF=OA+AF，将AF等量代换为BE，而BE=OB+OE，由OB=PA=OA=3，将OB换为OA，可得出OF-OE=2OA=6；
（3）存在点Q，使S_△QPO=S_△MPO，理由为：假如Q存在，在反比例函数图象上找一点Q，连接OQ，PQ，过Q作QC⊥x轴于C点，由A的坐标及平移的规律找出M的坐标，在x轴上作出M点，连接PM，三角形POM以OM为底边，AP为高，利用三角形的面积公式求出三角形POM的面积，可得出三角形QPO的面积，由Q在反比例函数图象上，设出Q的坐标为Q（m，

9

m

）（m＞0），可表示出QC与OC，而三角形QOP的面积=三角形AOP的面积+直角梯形APQC的面积-三角形OQC的面积，而三角形AOP的面积与三角形QOC的面积相等，故三角形QOP的面积=直角梯形APQC的面积，利用梯形的面积公式列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，即可确定出Q的坐标．

解答：解：（1）由点P为y=x与反比例函数y=

k

x

的交点，设P（a，a）（a＞0），
可得出PA=OA=a，又S_△PAO=

9

2

，
∴

1

2

OA•PA=

1

2

a²=

9

2

，
解得：a=3或a=-3（舍去），
∴P（3，3），
将x=3，y=3代入反比例函数解析式得：3=

k

3

，
则k=3×3=9；

（2）过P作PF⊥PE，交x轴于点F，过P作PB⊥y轴于点B，
∵∠ODE=∠PDF，∠EOD=∠EPF=90°，
∴∠BEP=∠AFP，
又BP=OA，PA=OA=3，
∴BP=AP，
在△BEP和△AFP中，

∠EBP=∠FAP=90° ∠BEP=∠AFP BP=AP

，
∴△BEP≌△AFP（AAS），
∴BE=AF，又OA=PA=OB=3，
则OF-OE=OA+AF-OE=OA+BE-OE=OA+BO+OE-OE=OA+OB=2OA=6；

（3）存在点Q，使S_△QPO=S_△MPO，理由为：
假如Q存在，在反比例函数图象上找一点Q，连接OQ，PQ，过Q作QC⊥x轴于C点，
将A点沿x轴向右平移5个单位，得到M（8，0），连接PM，
∴OM=8，又PA=3，
∴S_△MPO=

1

2

OM•PA=12，
又S_△QPO=S_△MPO，
∴S_△QPO=12，
设Q（m，

9

m

）（m＞0），则有OC=m，QC=

9

m

，
又PA=OA=3，故AC=|m-3|，
∴S_△QPO=S_△PAO+S_梯形APQC-S_△QCO=

9

2

+

1

2

（

9

m

+3）|m-3|-

9

2

=12，
整理得：（m-9）（m+1）=0或者（m+9）（m-1）=0，
解得：m=9或m=-1（舍去），或者m=1或m=-9（舍去），
∴Q（9，1）或（1，9）．
则存在点Q，使S_△QPO=S_△MPO，此时Q点的坐标为（9，1）或（1，9）．

点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，待定系数法求函数解析式，反比例函数解析式中k的意义，坐标与图形性质，利用了转化及等量代换的思想，根据题意做出相应的图形是本题的突破点．