Question

【题目】如图，已知点、，为轴正半轴上的一个动点，以为边构造，使点在轴的正半轴上，且．若为的中点，则的最小值为___________．

Answer 1

【答案】

【解析】

先确定M点的轨迹为直线，当PM⊥M1M2时，PM最小，可以证明△PMM2∽△M1OM2，即可求解．

当B在原点时，作OA⊥AC交x轴于C’，作AD⊥x轴于D点

∴AD=4, OD=2

∵∠AOD+∠OAD=∠AOD+∠AC’D=90°

∴∠OAD=∠AC’D

∴tan∠OAD=tan∠AC’D

∴

∴C’D=8

∴BC’＝10，故点M2（5，0）；

当C在原点时，作AF⊥y轴于F点

同理可得tan∠OAD=tan∠B’AF=

∴BF’=AF=1

∴B’（0，5），故M1（0，），

∵当PM⊥M1M2时，PM最小，

∵∠MM2P=∠OM2M1，∠PMM2=∠M1OM2=90°

∴△PMM2∽△M1OM2，

∴，

∵M1M2＝，M1O=, PM2=5-1=4

∴PM＝；

故答案为．