Question

22、已知方程x²+bx+c=0及x²+cx+b=0分别各有两个整数根且两根均同号，求证：b-1≤c≤b+1．

Answer 1

分析：通过根与系数的关系，利用反证法推出x₁＜0，x₂＜0；将b-1≤c≤b+1转化为c-（b-1）≥0和b≤c-1的问题即可．

解答：证明：设x₁，x₂，x₁′，x₂′，分别是两个方程的根，
先证x₁＜0，x₂＜0，
假设不成立，由x₁＞0，x₁x₂＞0知x₂＞0，而x₁+x₂=-b=-x₁′x₂′，与x₁′x₂′＞0矛盾，
故x₁＜0，x₂＜0；
又由于c-（b-1）=x₁x₂+x₁+x₂+1=（x₁+1）（x₂+1）≥0，
∴c≥b-1，
由方程x²+cx+b=0，讨论可得b≤c-1，
∴b-1≤c≤b+1．

点评：此题综合考查了一元二次方程根与系数的关系、反证法等知识，将结论转化为两根之积与两根之和的问题即可．