Question

已知方程x²+bx+c=0与x²+cx+b=0各有两个整数根x₁，x₂，和x₁′，x₂′，且x₁x₂＞0，x₁′x₂′＞0．
（1）求证：x₁＜0，x₂＜0，x₁′＜0，x₂′＜0；
（2）求证：b-1≤c≤b+1；
（3）求b，c的所有可能的值．

Answer 1

分析：（1）分类讨论，根据x₁x₂＞0，x₁′x₂′＞0知道x₁与x₂同号，然后利用根与系数的关系求出矛盾，得到正确的结果；
（2）分别证明b-1≤c和c≤b+1，利用根与系数的关系和整数根；
（3）根据（2）中b-1≤c≤b+1，分别另c=b+1、b、b-1进行求解，从而得到所有正确的结果．

解答：解：（1）由x₁x₂＞0知，x₁与x₂同号．
若x₁＞0，则x₂＞0，这时-b=x₁+x₂＞0，
所以b＜0，
此时与b=x₁′x₂′＞0矛盾，
所以x₁＜0，x₂＜0．
同理可证x₁′＜0，x₂′＜0．

（2）由（1）知，x₁＜0，x₂＜0，所以x₁≤-1，x₂≤-1．
由韦达定理c-（b-1）=x₁x₂+x₁+x₂+1=（x₁+1）（x₂+1）≥0，
所以c≥b-1．
同理有b-（c-1）=x₁′x₂′+x₁′+x₂′+1=（x₁′+1）（x₂′+1）≥0
所以c≤b+1，
所以b-1≤c≤b+1．

（3）由（2）可知，b与c的关系有如下三种情况：
（i）c=b+1．由韦达定理知
x₁x₂=-（x₁+x₂）+1，
所以（x₁+1）（x₂+1）=2，
所以

x1+1=-1 x2+1=-2

或

x1+1=-2 x2+1=-1

解得x₁+x₂=-5，x₁x₂=6，所以b=5，c=6．
（ii）c=b．由韦达定理知
x₁x₂=-（x₁+x₂），
所以（x₁+1）（x₂+1）=1，
所以x₁=x₂=-2，从而b=4，c=4．
（iii）c=b-1．由韦达定理知
-（x₁′+x₂′）=x₁′x₂′-1
所以（x₁′+1）（x₂′+1）=2，
解得x₁′+x₂′=-5，x₁′x₂′=6，
所以b=6，c=5．
综上所述，共有三组解：（b，c）=（5，6），（4，4），（6，5）．

点评：本题主要考查了一元二次方程的整数根和根与系数的关系，关键是分类讨论时要找到所有的情况．