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为了改善市民的生活环境,我市在某河滨空地处修建一个如图所示的休闲文化广场,在Rt△ABC内修建矩形水池DEFG,使定点D,E在斜边AB上,F,G分别在直角边
BC,AC上;又分别以AB,BC,AC为直径作半圆,它们交出两弯新月(图中阴影部分),两弯新月部分栽植花草;其余空地铺设瓷砖,其中AB=24米,∠BAC=60°,设EF=x米,DE=y米.
(1)求y与x之间的函数解析式;
(2)当x为何值时,矩形DEFG的面积最大?最大面积是多少?
(3)求两弯新月(图中阴影部分)的面积,并求当x为何值时,矩形DEFG的面积及等于两弯新月面积的
【答案】分析:(1)先解Rt△ABC,得出AC=12米,BC=36米,∠ABC=30°,再根据三角函数的定义求出AD=x,BE=x,然后根据AD+DE+BE=AB,列出y与x之间的关系式,进而求解即可;
(2)先根据矩形的面积公式得出DEFG的面积=xy,再将(1)中求出的y=24-x代入,得出矩形DEFG的面积=xy=-x2+24x,然后利用配方法写成顶点式,根据二次函数的性质即可求解;
(3)先证明两弯新月的面积=△ABC的面积,再根据三角形的面积公式求出两弯新月的面积,然后根据矩形DEFG的面积及等于两弯新月面积的列出关于x的一元二次方程,解方程即可求解.
解答:解:(1)在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,AB=24米,∠BAC=60°,
∴AC=AB=12米,BC=AC=36米,∠ABC=30°,
∴AD==x,BE==x,
∵AD+DE+BE=AB,
x+y+x=24
∴y=24-x-x=24-x,
即y与x之间的函数解析式为y=24-x(0<x<18);

(2)∵y=24-x,
∴矩形DEFG的面积=xy=x(24-x)=-x2+24x=-(x-9)2+108
∴当x=9米时,矩形DEFG的面积最大,最大面积是108平方米;

(3)记AC、BC、AB为直径的半圆面积分别为S1、S2、S3,两弯新月面积为S,
则S1=πAC2,S2=πBC2,S3=πAB2
∵AC2+BC2=AB2
∴S1+S2=S3
∴S1+S2-S=S3-S△ABC
∴S=S△ABC
∴两弯新月的面积S=AC•BC=×12×36=216(平方米).
如果矩形DEFG的面积及等于两弯新月面积的
那么-(x-9)2+108=×216
化简整理,得(x-9)2=27,
解得x=9±3,符合题意.
所以当x为(9±3)米时,矩形DEFG的面积及等于两弯新月面积的
点评:本题考查的是二次函数在实际生活中的应用,其中涉及到矩形的性质,解直角三角形,三角函数,勾股定理,二次函数的性质,三角形的面积等知识,综合性较强,有一定难度.利用数形结合及方程思想是解题的关键.
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BC,AC上;又分别以AB,BC,AC为直径作半圆,它们交出两弯新月(图中阴影部分),两弯新月部分栽植花草;其余空地铺设瓷砖,其中AB=24
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米,∠BAC=60°,设EF=x米,DE=y米.
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(3)求两弯新月(图中阴影部分)的面积,并求当x为何值时,矩形DEFG的面积及等于两弯新月面积的
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(1)求y与x之间的函数解析式;
(2)当x为何值时,矩形DEFG的面积最大?最大面积是多少?
(3)求两弯新月(图中阴影部分)的面积,并求当x为何值时,矩形DEFG的面积等于两弯新月面积的

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(1)求y与x之间的函数解析式;

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