Question

8．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点M₀的坐标为（1，0），将线段OM₀绕原点O逆时针方向旋转45°，再将其延长到M₁，使得M₁M₀⊥OM₀，得到线段OM₁；又将线段OM₁绕原点O逆时针方向旋转45°，再将其延长到M₂，使得M₂M₁⊥OM₁，得到线段OM₂；如此下去，得到线段OM₃，OM₄，OM₅，…根据以上规律，请直接写出OM₂₀₁₆的长度为2¹⁰⁰⁸．

Answer 1

分析 根据点M₀的坐标求出OM₀，然后判断出△OM₀M₁是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出OM₁，同理求出OM₂，OM₃，然后根据规律写出OM₂₀₁₆即可．

解答 解：∵点M₀的坐标为（1，0），
∴OM₀=1，
∵线段OM₀绕原点O逆时针方向旋转45°，M₁M₀⊥OM₀，
∴△OM₀M₁是等腰直角三角形，
∴OM₁=$\sqrt{2}$OM₀=$\sqrt{2}$，
同理，OM₂=$\sqrt{2}$OM₁=（$\sqrt{2}$）²，
OM₃=$\sqrt{2}$OM₂=（$\sqrt{2}$）³，
…，
∴OM_n=（$\sqrt{2}$）ⁿ，
∴OM₂₀₁₆=（$\sqrt{2}$）²⁰¹⁶=2¹⁰⁰⁸．
故答案为：2¹⁰⁰⁸．

点评 本题是对点的坐标变化规律的考查，主要利用了等腰直角三角形的判定与性质．注意得到规律：OM_n=（$\sqrt{2}$）ⁿ是关键．