Question

二次函数y=x²+bx+c的图象经过点A（4，3），B（1，0）．
（1）求b、c的值；
（2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；
（3）在所给坐标系中画出二次函数y=x²+bx+c的图象；若此二次函数图象与y轴交于点C，是否存在格点（网格线交叉点）D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，画出所有符合条件的平行四边形且标出D点；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）将A（4，3），B（1，0）代入二次函数解析式得：，
解得：b=-4，c=3；

（2）二次函数解析式为y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴二次函数顶点坐标为（2，-1），对称轴为直线x=2；

（3）画出二次函数图象，存在格点（网格线交叉点）D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，如图所示，
可得出D₁（3，6），D₂（-3，0），D₃（5，0）．
分析：（1）将A与B坐标代入二次函数解析式即可求出b与c的值；
（2）将二次函数解析式化为顶点形式，找出顶点坐标与对称轴即可；
（3）画出二次函数图象，若此二次函数图象与y轴交于点C，存在格点（网格线交叉点）D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，如图所示，找出满足题意D的坐标即可．
点评：此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，二次函数的顶点坐标与对称轴，二次函数的图象与性质，以及平行四边形的判定与性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．