Question

已知：如图所示，直线l的解析式为y=x-3，并且与x轴、y轴分别相交于点A、B．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）一个圆心在坐标原点、半径为1的圆，以0.4个单位/每秒的速度向x轴正方向运动，问什么时刻该圆与直线l相切；
（3）在题（2）中，若在圆开始运动的同时，一动点P从B点出发，沿BA方向以0.5个单位/秒的速度运动，问在整个运动的过程中，点P在动圆的园面（圆上和圆的内部）上一共运动了多长时间？

Answer 1

【答案】分析：（1）因为直线l的解析式为y=x-3，并且与x轴、y轴分别相交于点A、B，所以分别令y=0；x=0，即可求出A、B的坐标；
（2）可设动圆的圆心在C处时与直线l相切，设切点为D，连接CD，则CD⊥AD，CD=1，由∠CAD=∠BAO，∠CDA=∠BOA=90°，可知Rt△ACD∽Rt△ABO，利用相似三角形对应边的比等于相似比，可得，求出AC的值，即可得到此时OC的值，利用OC的长度结合速度即可求出时间；根据对称性，圆C还可能在直线l的右侧，与直线l相切，
此时OC=，；
（3）可设在t秒时，动圆的圆心在F点处，动点在P处，此时OF=0.4t，BP=0.5t，F点的坐标为（0.4t，0），连接PF．
因为，又，所以可得到，进而可得到FP∥OB，PF⊥OA，所以P点的横坐标为0.4t，又结合P点在直线AB上，可得P点的纵坐标为0.3t-3，因此可见：当PF=1时，P点在动圆上，当0≤PF＜1时，P点在动圆内，而当P=1时，由对称性可知，有两种情况：①当P点在x轴下方时，PF=-（0.3t-3）=1，解之可得t的值，②当P点在x轴上方时，PF=0.3t-3=1，解之得t的另一个值，进而可得到当时，0≤PF≤1，并且此时点P在动圆的圆面上，所经过的时间为．
解答：解：（1）在y=x-3中，令x=0，得y=-3；令y=0，得x=4，故得A、B两的坐标为
A（4，0），B（0，-3）．                                               （2分）

（2）若动圆的圆心在C处时与直线l相切，设切点为D，如图所示．
连接CD，则CD⊥AD．                                                    （3分）
由∠CAD=∠BAO，∠CDA=∠BOA=90°，可知Rt△ACD∽Rt△ABO，
∴，则AC=．                                 （4分）
此时OC=（秒）．                       （5分）
根据对称性，圆C还可能在直线l的右侧，与直线l相切，
此时OC=．                                                  （7分）
（秒）．
答：（略）．                                                           （8分）

（3）设在t秒，动圆的圆心在F点处，动点在P处，此时OF=0.4t，BP=0.5t，F点的坐标为（0.4t，0），连接PF，
∵，又，
∴，
∴FP∥OB，∴PF⊥OA（9分）
∴P点的横坐标为0.4t，
又∵P点在直线AB上，
∴P点的纵坐标为0.3t-3，
可见：当PF=1时，P点在动圆上，当0≤PF＜1时，P点在动圆内．               （10分）
当PF=1时，由对称性可知，有两种情况：
①当P点在x轴下方时，PF=-（0.3t-3）=1，解之得：；
②当P点在x轴上方时，PF=0.3t-3=1，解之得：．                      （11分）
∴当时时，0≤PF≤1，此时点P在动圆的圆面上，所经过的时间为，
答：动点在动圆的圆面上共经过了秒．                                  （12分）
点评：本题是一道综合性强的题目，解决这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法．