Question

10．已知：△ABC中∠ACB=90°，E在AB上，以AE为直径的⊙O与BC相切于D，与AC相交于F，连接AD． 
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）连接OC，如果∠B=30°，CF=1，求OC的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD．根据圆的半径都相等的性质及等边对等角的性质知：∠1=∠2；再由切线的性质及平行线的判定与性质证明∠1=∠3；最后由角平分线的性质证明结论；
（2）连接DF，根据角平分线的定义得到∠3=30°，由BC是⊙O的切线，得到∠FDC=∠3=30°，解直角三角形得到AF=2，过O作OG⊥AF于G，得到四边形ODCG是矩形，根据矩形的性质得到CG=2，OG=CD=$\sqrt{3}$，根据勾股定理即可得到结论．

解答 （1）证明：连接OD，
∴OD=OA，
∴∠1=∠2，
∵BC为⊙O的切线，
∴∠ODB=90°，
∵∠C=90°，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∴∠3=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AD是∠BAC的平分线；

（2）解：连接DF，
∵∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠3=30°，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠FDC=∠3=30°，
∴CD=$\sqrt{3}$CF=$\sqrt{3}$，
∴AC=$\sqrt{3}$CD=3，
∴AF=2，
过O作OG⊥AF于G，
∴GF=$\frac{1}{2}$AF=1，四边形ODCG是矩形，
∴CG=2，OG=CD=$\sqrt{3}$，
∴OC=$\sqrt{O{G}^{2}+C{G}^{2}}$=$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了切线的性质，含30°直角三角形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．