Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）求出四边形ABPC的面积最大时的P点坐标和四边形ABPC的最大面积；

（3）在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，写出Q点坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）P点的坐标为（，﹣），四边形ABPC的面积的最大值为；（3）Q点坐标为（，﹣3）、（﹣，﹣﹣3）、（3，0）或（，﹣）．

【解析】

(1)把B、C两点的坐标代入二次函数y=x2+bx+c即可求出b，c的值,故可得出二次函数的解析式;

(2)过点P作y轴的平行线与BC交于点Q,与OB交于点E,设P（x，x2﹣2x﹣3），易得,直线BC的解析式为y=x﹣3，则Q点的坐标为（x，x﹣3）,再根据S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ即可得出结论；

（3）分当OC=QC时，当OC=QO时，当QC=QO时三种情况求解即可.

解：（1）将B、C两点的坐标代入得，

解得：；

所以二次函数的表达式为：y=x2﹣2x﹣3；

（2）如图，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，

设P（x，x2﹣2x﹣3），设直线BC的解析式为：y=kx+d，

则，

解得：，

∴直线BC的解析式为y=x﹣3，

则Q点的坐标为（x，x﹣3）；

由0=x2﹣2x﹣3，解得：x1=﹣1，x2=3，

∴AO=1，AB=4，

S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ

=ABOC+QPBF+QPOF

=×4×3+（﹣x2+3x）×3

=﹣（x﹣）2+．

当x=时，四边形ABPC的面积最大

此时P点的坐标为（，﹣），四边形ABPC的面积的最大值为；

（3）设点Q的坐标为（m，m﹣3），

∵O（0，0），C（0，﹣3），

∴OC=3，QC==|m|，QO=．

△QOC为等腰三角形分三种情况：

①当OC=QC时，3=|m|，

解得：m=±，

此时点Q的坐标为（，﹣3）或（﹣，﹣﹣3）；

②当OC=QO时，3=，

解得：m=3或m=0（舍去），

此时点Q的坐标为（3，0）；

③当QC=QO时，有|m|=，

解得：m=，

此时点Q的坐标为（，﹣）．

综上可知：Q点坐标为（，﹣3）、（﹣，﹣﹣3）、（3，0）或（，﹣）．