Question

如图9，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），抛物线上另有一点在第一象限，满足∠为直角,且恰使△∽△.

(1)(3分)求线段的长.
(2)(3分)求该抛物线的函数关系式．
(3)(4分)在轴上是否存在点，使△为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）２
（2）ｙ＝－ｘ＋ｘ－４
（3）（０，０），（６－２，０），（４，０），（６＋２，０）解析:
（１）解：由ax－8ax+12a＝０（a＜0）得
　　　ｘ＝２，ｘ＝６
　　　即：ＯＡ＝２，ＯＢ＝６                   　……1分
　　　∵△OCA∽△OBC
　　　∴ＯＣ＝ＯＡ·ＯＢ＝２×６              　……2分
　　　∴ＯＣ＝２（－２舍去）
　　　∴线段ＯＣ的长为２                  　　……3分
（２）解：∵△OCA∽△OBC
　　　∴
设ＡＣ＝ｋ，则ＢＣ＝ｋ
由ＡＣ＋ＢＣ＝ＡＢ得
ｋ＋（ｋ）＝（６－２）
解得ｋ＝２（－２舍去）
∴ＡＣ＝２，ＢＣ＝２＝ＯＣ              　 ……1分
过点Ｃ作ＣＤ⊥ＡＢ于点Ｄ
∴ＯＤ＝ＯＢ＝３
∴ＣＤ＝
∴Ｃ的坐标为（３，）                    　 ……2分
将C点的坐标代入抛物线的解析式得
＝ａ（３－２）（３－６）
∴ａ＝－
∴抛物线的函数关系式为：
ｙ＝－ｘ＋ｘ－４              　　　　　　　　 ……3分
（３）解：①当Ｐ与Ｏ重合时，△ＢＣＰ为等腰三角形
∴Ｐ的坐标为（０，０）          ……1分
②当ＰＢ＝ＢＣ时(Ｐ在B点的左侧)，△ＢＣＰ为等腰三角形
∴Ｐ的坐标为（６－２，０）  ……2分
③当Ｐ为ＡＢ的中点时，ＰＢ＝ＰＣ，△ＢＣＰ为等腰三角形
∴Ｐ的坐标为（４，０）                          ……3分
④当ＢＰ＝ＢＣ时(Ｐ在B点的右侧)，△ＢＣＰ为等腰三角形
∴Ｐ的坐标为（６＋２，０）                
∴在ｘ轴上存在点Ｐ，使△ＢＣＰ为等腰三角形，符合条件的点Ｐ的坐标为：
（０，０），（６－２，０），（４，０），（６＋２，０）  ……4分