Question

已知抛物线y=ax²+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于点A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁＜x₂），顶点M的纵坐标为-4，若x₁、x₂是方程x²-2（m-1）x+m²-7=0的两个根，且x²₁+x²₂=10．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点P，使三角形PAB的面积等于四边形ACMB的面积的2倍？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵x₁，x₂是方程x²-2（m-1）x+m²-7=0的两个根，
∴x₁+x₂=2（m-1），x₁•x₂=m²-7．
又∵x₁²+x₂²=10，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=10，
∴[2（m-1）]²-2（m²-7）=10，
即m²-4m+4=0．
解得：m₁=m₂=2．
将m=2代入方程x²-2（m-1）x+m²-7=0，
得：x²-2x-3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3．
∴点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（3，0）．

（2）因为抛物线与x轴的交点为A（-1，0）、B（3，0），由对称性可知，顶点M的横坐标为1，则顶点M的坐标为（1，-4）．
∴

a-b+c=0 9a+3b+c=0 a+b+c=-4

，
解得：

a=1 b=-2 c=-3

，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3．
在y=x²-2x-3中，
令x=0，得y=-3．
∴点C的坐标为（0，-3）．

（3）设抛物线的对称轴与x轴交于点D，
则AO=OD=1，DB=2，OC=3，
DM=4，AB=4．
∴S_{四边形ACMB}=S_△ACO+S_梯形OCMD+S_△DMB
=

1

2

•AO•CO+

1

2

（CO+MD）+

1

2

DB•MD
=

1

2

×1×3+

1

2

×（3+4）×1+

1

2

×2×4=9．
设P（x₀，y₀）为抛物线上一点，
则S_△PAB=

1

2

AB•|y₀|．
若S_△PAB=2S_{四边形ACMB}，
则

1

2

•AB•|y₀|=18，
∴丨y₀丨=9，y₀=±9．
将y₀=9代入y=x²-2x-3中，得x²-2x-3=9，
即x²-2x-12=0，
解得：x₁=1-

13

，x₂=1+

13

．
将y₀=-9代入y=x²-2x-3中，得：x²-2x-3=-9，
即x²-2x+6=0．
∵△=（-2）²-4×1×6=-20＜0，
∴此方程无实数根．
∴符合条件的点P有两个：P₁（1-

13

，9），P₂（1+

13

，9）．