Question

如图，在矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=12厘米，点P从点A出发，沿边AB向点B以1厘米/秒的速度移动，同时，Q点从B点出发沿边BC向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q两点分别到达B、C两点后就停止移动．据此解答下列问题：
（1）运动开始第几秒后，△PBQ的面积等于8平方厘米；
（2）设运动开始后第t秒时，五边形APQCD的面积为S平方厘米，写出S与t的函数关系式，并指出自变量的取值范围；
（3）求出S的最小值及t的对应值．

Answer 1

分析：（1）我们可通过设运动时间，用方程来求出这个时间值，如果设运动的时间为x秒，那么根据P、Q的速度，我们可得出AP=x，BQ=2x，那么BP=6-x．由此可根据三角形的面积公式来得出方程：

1

2

×BP×BQ=

1

2

（6-x）×2x=6x-x²=8．即：x²-6x+8=0，解得x=2，x=4，这样就求出了时间的值；
（2）求五边形APQCD的面积，我们可先求出三角形的面积，然后根据五边形的面积=矩形ABCD的面积-三角形BPQ的面积来列函数式，三角形的面积表示方法我们已经在（1）中得出，只需将x换成t，而矩形的长和宽都已知，因此可根据上面的等量关系来列出S、t的函数式．根据边长不为负数可得出t的取值范围；
（3）此题求的是二次函数的最值问题，根据（2）的函数的性质以及自变量的取值范围，用配方法或公式法求解都可以．

解答：解：（1）运动开始第2秒或第4秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米；

（2）根据题意，得S=6×12-

1

2

（6-t）•2t，
所以S=t²-6t+72，其中t大于0且小于6；

（3）由S=t²-6t+72，得S=（t-3）²+63．
因为t大于0，
所以当t=3秒时，S_最小=63平方厘米．

点评：本题主要考查了二次函数的应用，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好．