Question

如图，在直角坐标平面内，O为原点，抛物线y=ax²+bx经过点A（6，0），且顶点B（m，6）在直线y=2x上．
（1）求m的值和抛物线y=ax²+bx的解析式；
（2）如在线段OB上有一点C，满足OC=2CB，在x轴上有一点D（10，0），连接DC，且直线DC与y轴交于点E．
①求直线DC的解析式；
②如点M是直线DC上的一个动点，在x轴上方的平面内有另一点N，且以O、E、M、N为顶点的四边形是菱形，请求出点N的坐标．（直接写出结果，不需要过程．）

Answer 1

分析：（1）先根据抛物线y=ax²+bx的顶点B（m，6）在直线y=2x上可求出m的值，再用待定系数发即可求出此抛物线的解析式；
（2）①作CH⊥OA，BG⊥OA，再根据平行线分线段成比例定理即可得出CH的长，进而求出C点坐标，再根据D点坐标用待定系数法即可求出直线DC解析式；
②根据菱形的性质即可求出符合条件的N点坐标．

解答：解：（1）∵顶点B（m，6）在直线y=2x，
∴m=3，（1分）
∴B（3，6），把AB两点坐标代入抛物线的解析式得，

36a+6b=0 9a+3b=6

，解得

a=- 2 3 b=4

，
∴抛物线：y=-

2

3

x²+4x；（3分）

（2）①如图1，作CH⊥OA，BG⊥OA，
∴CH∥BG，
∴

CH

BG

=

OC

OB

，
∵OC=2CB，
∴

CH

6

=

2

3

，CH=4，
∴点C的坐标为（2，4）（2分）
∵D（10，0）根据题意

2k+b=4 10k+b=0

，解得：

k=- 1 2 b=5

，
∴直线DC解析式y=-

1

2

x+5；（2分）

②如图2：∵四边形ENOM是菱形，
∴OS=ES=

1

2

OE=

5

2

，
∴NK=

5

2

，
∵ON∥DE，
∴tan∠NOK=tan∠EDO=

EO

OD

=

MK

OK

=

1

2

，
∴OK=5，
∴N₁（-5，

5

2

），
如图3：∵EM⊥OB，
∴ON=2OC，
∵点C的坐标为（2，4），
∴N₂（4，8）；
③如图4：
∵直线DC解析式y=-

1

2

x+5，
∴E（0，5），
设M（x，-

1

2

x+5），
∵四边形ENOM是菱形，
∴EM=OE=5，即x²+（-

1

2

x）²=25，解得x=2

5

，
∴M（-2

5

，5+

5

），
∴可设N（-2

5

，y），则|5+

5

-y|=5，解得y=

5

或y=10+

5

（舍去）
∴N₃（-2

5

，

5

）．

点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式、菱形的性质、平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．