Question

【题目】如图1，矩形ABCD中，AB＝，BC＝9，点E在BC边上，BE＝4，点F，G在线段AD上运动（点F在点G的左侧），且始终保持FG＝BE．

（1）求证：四边形BEGF是平行四边形；

（2）当四边形BEGF是菱形时，求线段DG的长；

（3）将△BEF沿EF折叠得到△B′EF，连结B′G（如图2），当以点B′，G，E，F为顶点的四边形是矩形时，直接写出线段DG的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）DG＝5；（3）DG＝1或2或4

【解析】

（1）根据矩形的性质得出AD∥BC，即可得出四边形BEGF是平行四边形；
（2）根据菱形的性质得出BF＝FG＝BE＝4，再用勾股定理即可；
（3）分两种情况讨论，①当BF⊥EF，由直角三角形的面积得出EFBF＝4，再利用勾股定理得出BF2＋EF2＝16，联立方程组求出BF，再用勾股定理求出AF即可，②当EF⊥BC时，四边形ABEF是矩形，即可求出DG的长度．

（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∵FG＝BE，

∴四边形BEGF是平行四边形；

（2）∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC＝9，∠BAD＝90°，

∵四边形BEGF是菱形，

∴BF＝FG＝BE＝4，

在Rt△ABF中，AF＝=；

∴DG＝ADAFFG＝94＝5；

（3）∵△BEF沿EF折叠得到△B'EF，

∴∠BFE＝∠B'FE，

∵点B′，G，E，F为顶点的四边形是矩形，

①当BF⊥EF，过点F作FH⊥BC于H，

∴∠BFE＝∠B'FE＝90°，

∴FH＝，

∵BE＝4，

根据直角三角形的面积得，EFBF＝ABBE＝4

在Rt△BEF中，BF2＋EF2＝16

解得：BF＝2或BF＝2，

当BF＝2时，根据勾股定理得，AF＝1，

DG＝ADAFFG＝914＝4，

当BF＝2，根据勾股定理得，AF＝3，

∴DG＝ADAFFG＝934＝2．

即：DG＝2或4．

②当EF⊥BC时，四边形ABEF是矩形，

∴AF＝BE＝4，

∵FG＝BE＝4，

∴DG＝ADAFFG＝1，

即：DG＝1或2或4．