Question

【题目】如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，，连接，．动点在上从点向终点匀速运动，同时，动点在射线．上从点沿方向匀速运动，当点运动到EF的中点时，点恰好与点重合，点到达终点时，， 同时停止运动．

（1）求的长．

（2）设，，求关于的函数表达式，并写出自变的取值范围．

（3）连接，当与的一边平行时，求的长．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（）；（3）的值为或12

【解析】

（1）由矩形的性质可得：∠B＝90°，在Rt△BEF中，根据勾股定理即可求出EF的长；

（2）已知，，根据“当点运动到EF的中点时，点恰好与点重合”，即可求出关于的函数表达式；

（3）如图3-1和3-2中，延长交的延长线于，根据相似三角形的判定定理可证得，根据相似三角形对应边成比例可得EH，CH的长，然后分三种情况讨论：①，②，③，排除掉不存在的情况，继而根据相似三角形对应边成比例即可求解．

(1)∵四边形是矩形，

∴，，，

∵，

∴，

∴．

（2）由题意得：，

即．

∴（）．

（3）如图，延长交的延长线于．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B＝∠ECD＝∠ECH＝90°，

又∵∠BEF＝∠CEH，

∴，

∴，

∴，

∴,，

①如图3-1，当时，△HMN∽△HFD，

∴，即，

解得，

②当时，这种情形不存在．

③如图3-2中，当时，△HED∽△HMN，

∴，即，

∵，解得，

综上所述，满足条件的的值为或12．