Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中点，AD=5，BC=12，梯形的高DF=4，∠C=45°，点P是BC边上一动点，设PB的长为x．
（1）当x的值为

 

时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形；
（2）当x的值为

 

时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；
（3）点P在BC边上运动的过程中，以P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．

Answer 1

分析：（1）如图，分别过A、D作AM⊥BC于M，DN⊥CB于N，容易得到AM=DN，AD=MN，而CD=42，∠C=45°，由此可以求出AM=DN，又AD=5，容易求出BM、CN，若点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形，则∠APC=90°或∠DPE=90°，那么P与M重合或E与N重合，即可求出此时的x的值；
（2）若以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形，那么AD=PE，有两种情况：①当P在E的左边，利用已知条件可以求出BP的长度；②当P在E的右边，利用已知条件也可求出BP的长度；
（3）以点P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形．由（2）知，当BP=11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形，根据已知条件分别计算一组邻边证明它们相等即可证明它是菱形．

解答：解：（1）如图，分别过A、D作AM⊥BC于M，DN⊥CB于N，
∴AM=DN，AD=MN=5，
而CD=4

2

，∠C=45°，
∴DN=CN=4=AM，
∴BM=CB-CN-MN=3，
若点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形，
则∠APC=90°或∠DEP=90°，
当∠APC=90°时，
∴P与M重合，
∴BP=BM=3；
当∠DPB=90°时，
∴P与N重合，
∴BP=BN=8；
故当x的值为3或8时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形；

（2）若以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形，那么AD=PE，有两种情况：
①当P在E的左边，
∵E是BC的中点，
∴BE=6，
∴BP=BE-PE=6-5=1；
②当P在E的右边，
BP=BE+PE=6+5=11；
故当x的值为1或11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；

（3）由（2）知：x=11时四边形AEPD是平行四边形，此时P在E的右边，
在Rt△CND中，∵∠C=45°，∴CN=DN=4，
又CP=BC-BP=12-11=1，
PN=CN-CP=4-1=3，
在Rt△PND中，PD=

PN2+DN2

=

32+42

=5…（8分）
∴PD=AD=5，
∴平行四边形AEPD是菱形．…（10分）

点评：本题考查了梯形的性质、直角梯形的性质、平行四边形的性质、菱形的性质等，要求学生熟练掌握，本题综合性很强．