Question

【题目】在平面直角坐标系中，对“隔离直线”给出如下定义：点是图形上的任意一点，点是图形上的任意一点，若存在直线：满足且，则称直线：是图形与的“隔离直线”，如图，直线：是函数的图像与正方形的一条“隔离直线”.

（1）在直线①，②，③，④中，是图函数的图像与正方形的“隔离直线”的为 .

（2）如图，第一象限的等腰直角三角形的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点的坐标是，⊙O的半径为，是否存在与⊙O的“隔离直线”？若存在，求出此“隔离直线”的表达式：若不存在，请说明理由；

（3）正方形的一边在轴上，其它三边都在轴的左侧，点是此正方形的中心，若存在直线是函数的图像与正方形的“隔离直线”，请直接写出的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)①④;(2);(3)或

【解析】

(1)根据的“隔离直线”的定义即可解决问题；

(2)存在，连接，求得与垂直且过的直接就是“隔离直线”，据此即可求解；

(3)分两种情形正方形在x轴上方以及在x轴下方时，分别求出正方形的一个顶点在直线上时的t的值即可解决问题．

(1)根据的“隔离直线”的定义可知，是图1函数的图象与正方形OABC的“隔离直线”；直线也是图1函数的图象与正方形OABC的“隔离直线”；而与不满足图1函数的图象与正方形OABC的“隔离直线”的条件；
故答案为：①④；

(2)存在，

理由如下：

连接，过点作轴于点，如图，

在Rt△DGO中，，

∵⊙O的半径为，
∴点D在⊙O上．
过点D作DH⊥OD交y轴于点H，
∴直线DH是⊙O的切线，也是△EDF与⊙O的“隔离直线”．

设直线OD的解析式为，

将点D(2，1)的坐标代入得，

解得：，

∵DH⊥OD，

∴设直线DH的解析式为，

将点D(2，1)的坐标代入得，

解得：，

∴直线DH的解析式为，

∴“隔离直线”的表达式为；

(3)如图：

由题意点F的坐标为()，

当直线经过点F时，，
∴，
∴直线，即图中直线EF，
∵正方形A1B1C1D1的中心M(1，t)，
过点作⊥y轴于点G，

∵点是正方形的中心，且，

∴B1C1，，

∴正方形A1B1C1D1的边长为2，
当时，，

∴点C1的坐标是()，此时直线EF是函数)的图象与正方形A1B1C1D1的“隔离直线”，

∴点的坐标是(-1，2)，

此时；
当直线与只有一个交点时，

，消去y得到，

由，可得，
解得：，

同理，此时点M的坐标为：()，

∴，
根据图象可知:

当或时，直线是函数)的图象与正方形A1B1C1D1的“隔离直线”．