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    如图①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2，AD是BC边上的高．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，且DE=BC，且连接AE、BG．
    （1）试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论；
    （2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，或小于90°），DG、DE分别交AB、AC于点M和N（如图②），则（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．
    （3）在（2）的情况下，当AE∥BC时，求AM的值．

    【答案】分析：（1）猜想BG=AE，在Rt△BDG与Rt△EDA；根据边角边定理易得Rt△BDG≌Rt△EDA；故BG=AE；
    （2）（1）中的结论仍然成立．连接AD，根据直角三角形与正方形的性质可得Rt△BDG≌Rt△EDA；进而可得BG=AE；
    （3））因为△ABC是等腰直角三角形，AD是BC边上的高，利用“三线合一”可证明BD=CD，进而证明△BDM≌△ADN，所以BM=AN，利用勾股定理求出AE，再通过证明△ADM∽△AEN，
    利用相似三角形的性质得到关于AM的比例式，把已知数据代入求出AM的值即可．
    解答：（1）猜想BG=AE，
    证明：∵△ABC是等腰直角三角形，AD⊥BC，
    ∴BD=DA，
    在正方形DEFG中：GD=DE，∠GDB=∠EDA，
    在Rt△BDG和Rt△ADE中，

    ∴Rt△BDG≌Rt△ADE（SAS），
    ∴BG=AE；

    （2）（1）中的结论仍然成立，理由如下：
    ∵Rt△BAC中，D为斜边BC的中点，
    ∴AD=BD，AD⊥BC，
    ∴∠ADG+∠GDB=90°，
    ∵EFGD为正方形，
    ∴DE=DG，且∠GDE=90°，
    ∴∠ADG+∠ADE=90°，
    ∴∠BDG=∠ADE，
    在△BDG和△AED中，
    ，
    ∴△BDG≌△ADE（SAS），
    ∴BG=AE；

    （3）∵△ABC是等腰直角三角形，AD是BC边上的高，
    ∴∠5=∠6=∠7=45°，
    ∵BD=AD，∠3=∠2，
    ∴△BDM≌△ADN，
    ∴BM=AN，
    ∵AB=BC•cos∠7=2cos45°=，
    ∴AN=BM=AB-AM=-AM，
    ∵AE∥BC，
    ∴∠EAD=180°-∠ADC=90°，
    ∵AD=BC=×1=1，DE=BC=2，
    ∴AE==，
    ∵∠1+∠2=90°，∠2+∠4=90°，
    ∴∠1=∠4，
    ∵∠8=90°-∠6=45°，
    ∴∠5=∠8，
    ∴△ADM∽△AEN，
    ∴，
    ∴，
    ∴AM=．
    点评：本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，题目的综合性很强，解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，正方形中的三角形的三边关系，可有助于提高解题速度和准确率．
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    精英家教网定义：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自相似图形．
    探究：
    （1）如图甲，已知△ABC中∠C=90°，你能把△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形吗？若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由．
    （2）一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连接三角形各边中点，则可将原三分割为四个都与它自己相似的小三角形．我们把△DEF（图乙）第一次顺次连接各边中点所进行的分割，称为1阶分割（如图1）；把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连接它的各边中点所进行的分割，称为2阶分割（如图2）…依次规则操作下去．n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（n为正整数），设此时小三角形的面积为SN．
    ①若△DEF的面积为10000，当n为何值时，2＜Sn＜3？（请用计算器进行探索，要求至少写出三次的尝试估算过程）
    ②当n＞1时，请写出一个反映Sn-1，Sn，Sn+1之间关系的等式．（不必证明）精英家教网

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    精英家教网如图，若已知△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，则可得DE∥BC，且DE=
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    BC．根据上面的结论：
    （1）你能否说出顺次连接任意四边形各边中点，可得到一个什么特殊四边形并说明理由；
    （2）如果将（1）中的“任意四边形”改为条件是“平行四边形”或“菱形”或“矩形”或“等腰梯形”，那么它们的结论又分别怎样呢？请说明理由．

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    （3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
    如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长．

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    （1）添线补全如图1几何体的三视图．

    （2）如图2，已知△ABC．请你确定一点P，使PB=PC，且点P到∠B的两边距离相等．

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    （1）在图1中，DE交边AB于M，DF交边BC于N
    ①证明：DM=DN
    ②在这一旋转过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积
    （2）继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM=DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

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