Question

【题目】如图 1，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=ax2+bx﹣5 与 x 轴交于 A（﹣1，0），B（5， 0）两点，与 y 轴交于点 C．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点 D 是 y 轴上的一点，且以 B，C，D 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点 D 的坐标；

（3）如图 2，CE∥x 轴与抛物线相交于点 E，点 H 是直线 CE 下方抛物线上的动点，过点 H且与 y 轴平行的直线与 BC，CE 分别相交于点 F，G，试探究当点 H 运动到何处时，四边形CHEF 的面积最大，求点 H 的坐标及最大面积；

（4）若点 K 为抛物线的顶点，点 M（4，m）是该抛物线上的一点，在 x 轴，y 轴上分别找点 P，Q，使四边形 PQKM 的周长最小，求出点 P，Q 的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣4x﹣5；（2）D 的坐标为（0，1）或（0，）；（3）H（，﹣）,S= ；（4）P（，0），Q（0，﹣）．

【解析】

（1）根据待定系数法直接确定出抛物线解析式；

（2）分两种情况，利用相似三角形的比例式即可求出点 D 的坐标；

（3）先求出直线 BC 的解析式，进而求出四边形 CHEF 的面积的函数关系式，即可求出最大值；

（4）利用对称性找出点 P，Q 的位置，进而求出 P，Q 的坐标．

（1）∵点 A（﹣1，0），B（5，0）在抛物线 y=ax2+bx﹣5 上，

∴，

∴，

∴抛物线的表达式为 y=x2﹣4x﹣5，

（2）如图 1，

令 x=0，则 y=﹣5，

∴C（0，﹣5），

∴OC=OB，

∴∠OBC=∠OCB=45°，

∴AB=6，BC=5，

要使以 B，C，D 为顶点的三角形与△ABC 相似，则或，

①时，

CD=AB=6，

∴D（0，1），

②当时，

∴，

∴CD=，

∴D（0，），

即：D的坐标为（0，1）或（0，）；

（3）设 H（t，t2﹣4t﹣5），

∵CE∥x轴，

∴点E的纵坐标为﹣5，

∵E在抛物线上，

∴x2﹣4x﹣5=﹣5，

∴x=0（舍）或 x=4，

∴E（4，﹣5），

∴CE=4，

∵B（5，0），C（0，﹣5），

∴直线BC的解析式为y=x﹣5，

∴F（t，t﹣5），

∴HF=t﹣5﹣（t2﹣4t﹣5）=﹣（t﹣）2+，

∵CE∥x轴，HF∥y轴，

∴CE⊥HF，

∴S四边形CHEF=CEHF=﹣2（t﹣）2+，

当t=时，四边形CHEF的面积最大．

当t=时，t2-4t-5=﹣10﹣5=﹣，

∴H（，﹣）；

（4）如图 2，

∵K 为抛物线的顶点，

∴K（2，﹣9），

∴K 关于 y 轴的对称点 K'（﹣2，﹣9），

∵M（4，m）在抛物线上，

∴M（4，﹣5），

∴点 M 关于 x 轴的对称点 M'（4，5），

∴直线 K'M'的解析式为 x﹣，

∴P（，0），Q（0，﹣）．