Question

如图，直线AT切圆O于点A，过A引AT的垂线，交圆O于B，BT交圆O于C，连接AC，
求证：AC²=BC•CT．

Answer 1

解：∵AT为圆O的切线，
∴BA⊥AT，
∴∠BAC+∠CAT=90°，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
∴∠B=∠CAT，又∠ACB=∠TCA=90°，
∴△ABC∽△TAC，
∴=，即AC²=BC•CT．
分析：由AT为圆O的切线，利用切线的性质得到BA与AT垂直，再由AB为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角，得到∠ACB为直角，利用同角的余角相等得到一对角相等，可得出三角形ABC与三角形TAC相似，由相似得比例，变形后即可得证．
点评：此题考查了切线的性质，圆周角定理，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．