Question

5．如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，∠CDA=∠CBD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若AB=6，tan∠CDA=$\frac{2}{3}$，依题意补全图形并求DE的长．

Answer 1

分析 （1）连OD，OE，根据圆周角定理得到∠ADO+∠1=90°，而∠CDA=∠CBD，∠CBD=∠1，于是∠CDA+∠ADO=90°；
（2）根据切线的性质得到ED=EB，OE⊥BD，则∠ABD=∠OEB，得到tan∠CDA=tan∠OEB=$\frac{OB}{BE}$=$\frac{2}{3}$，易证Rt△CDO∽Rt△CBE，得到$\frac{CD}{CB}=\frac{OD}{BE}=\frac{OB}{BE}$=$\frac{2}{3}$，
求得CD，然后在Rt△CBE中，运用勾股定理可计算出BE的长，由切线长定理即可得DE的长．

解答 （1）证明：连OD，OE，如图1所示，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
即∠ADO+∠BDO=90°，
又∵∠CDA=∠CBD，
而∠CBD=∠BDO，
∴∠BDO=∠CDA，
∴∠CDA+∠ADO=90°，
即∠CDO=90°，
∴CD⊥OD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：如图2所示：
∵EB为⊙O的切线，
∴ED=EB，OE⊥DB，
∴∠ABD+∠DBE=90°，∠OEB+∠DBE=90°，
∴∠ABD=∠OEB，
∴∠CDA=∠OEB．
而tan∠CDA=$\frac{2}{3}$，
∴tan∠OEB=$\frac{OB}{BE}$=$\frac{2}{3}$，
∵Rt△CDO∽Rt△CBE，
∴$\frac{CD}{CB}=\frac{OD}{BE}=\frac{OB}{BE}$=$\frac{2}{3}$，
∴CD=$\frac{2}{3}$×6=4，
在Rt△CBE中，设BE=x，
∴（x+4）²=x²+6²，
解得：x=$\frac{5}{2}$．
即BE的长为$\frac{5}{2}$，
∴DE=BE=$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理的推论、三角形相似的判定与性质、勾股定理；熟练掌握切线的判定与性质，由三角函数和证明三角形相似是解决问题（2）的关键．