Question

（1）如图1，AD是△ABC边BC上的高．
①求证：AB²-AC²=BD²-CD²；
②已知AB=8，AC=6，M是AD上的任意一点，求BM²-CM²的值；
（2）如图2，P是矩形ABCD内的一点，若PA=3，PB=4，PC=5，求PD的值．

Answer 1

解：（1）①证明：∵AD是△ABC边BC上的高，
∴在Rt△ABD及Rt△ACD中，
AD²=AB²-BD²，AD²=AC²-CD²，
∴AB²-BD²=AC²-CD²，即AB²-AC²=BD²-CD²．
②BM²=BD²+DM²，CM²=CD²+DM²，
∴BM²-CM²=BD²-CD²，
又CD²=AC²-AD²BD²=AB²-AD²，
∴BM²-CM²=AB²-AC²=8²-6²=28．


（2）矩形ABCD内，作PE⊥AB，PF⊥BC，PM⊥AD，
分别与AB，BC，AD相交于E，F，M，PA=3，PB=4，PC=5，
；
则PD²=AE²+MD²，又MD=FC，BF=PE，解之得PD=3．
分析：（1）AD是△ABC边BC上的高．第一问中BD²移到左边，AC²移到右边即可．第二问中BM²=BD²+DM²，CM²=CD²+DM²，BM²-CM²=BD²-CD²，再通过AB，AC的转化即可．
（2）分别作三条边的高，利用辅助线及勾股定理解答．
点评：熟练掌握勾股定理及矩形的性质及运用，能够运用勾股定理进行等效代换．