Question

【题目】如图，在中，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒，连接．若以为直径的与的边相切，则的值为_______．

Answer 1

【答案】或或

【解析】

分当⊙O与BC相切、⊙O与AB相切，⊙O与AC相切时，三种情况分类讨论即可得出结论．

解：设运动时间为t秒（0<t<2），则BM=5t，CN=4t，BN=8-4t，

在直角三角形ABC中，由勾股定理，得AB==10.

当为直径的与的边AB相切时，∠BMN=90°=∠C，又因为∠B=∠B，所以△BMN∽△BCA，∴=，解得t=；当为直径的与的边BC相切, ∠BNM=90°=∠C，又因为∠B=∠B，所以△BMN∽△BAC，所以=，解得t=1;当为直径的与的边AC相切,如图,过点O作OH⊥AC于点H，交PM于点Q，

OH=OQ+QH=PM+PC=（8t-8）+（8-4t）=4，
∴MN=2OH=8，
∴73t2-128t+64=64
解得t1=0，t2=.

故t的值为或或.