Question

如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG．
（1）若ED：DC=1：2，EF=12，试求DG的长．
（2）观察猜想BE与DG之间的关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）根据正方形性质得出∠DCG=90°，CG=EF=CE=12，求出CD，根据勾股定理求出DG即可；
（2）根据正方形性质得出∠DCG=∠ECB=90°，CE=CG，CD=BC，根据SAS证△DCG≌△BCE，推出BE=DG，∠1=∠2，求出∠1+∠3=90°，根据三角形的内角和定理求出∠EHD=90°，即可退出BE⊥DG，

解答：（1）解：∵四边形EFGC是正方形，
∴∠DCG=90°，CG=EF=CE=12，
∵ED：DC=1：2，
∴CD=8，
在Rt△DCG中，由勾股定理的：DG=

DC2+CG2

=

82+122

=4

13

；

（2）BE与DG之间的关系是BE=DG，BE⊥DG，
证明：延长GD交BE于H，
∵四边形ABCD和四边形EFGC是正方形，
∴∠DCG=∠ECB=90°，CE=CG，CD=BC，
∵在△DCG和△BCE中

CG=CE ∠DCG=∠BCE DC=BC

，
∴△DCG≌△BCE（SAS），
∴BE=DG，∠1=∠2，
∵∠3=∠4，∠2+∠4=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠EHD=180°-90°=90°，
∴BE⊥DG，
即BE与DG之间的关系是BE=DG，BE⊥DG．

点评：本题考查了正方形性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，垂直的定义等知识点，主要考查学生的推理能力和猜想能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．