Question

【题目】如图1，在中，，点是的中点，以为直径做分别交，于点，.

（1）求证：.

（2）如图2，连，，当时，求证：四边形是菱形.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

（1）利用直角三角形斜边上的中线性质得MA＝MB，则∠A＝∠MBA，再利用圆内接四边形的性质证明∠MDE＝∠MED，于是得到MD＝ME；

（2）先证明△OAD和△OBE为等边三角形，再证明四边形DOEM为平行四边形，然后加上OD＝OE可判断四边形ODME是菱形．

（1）在Rt△ABC中，点M是AC的中点，

∴MA＝MB，

∴∠A＝∠MBA；

∵四边形ABED是圆内接四边形，

∴∠ADE＋∠ABE＝180°，

而∠ADE＋∠MDE＝180°，

∴∠MDE＝∠MBA；

同理可得∠MED＝∠A，

∴∠MDE＝∠MED，

∴MD＝ME；

（2）∵∠C＝30°，

∴∠A＝60°，

∴∠ABM＝60°，

∴△OAD和△OBE为等边三角形，

∴∠BOE＝60°，

∴∠BOE＝∠A，

∴OE∥AC，

同理可得OD∥BM，

∴四边形DOEM为平行四边形，

而OD＝OE，

∴四边形ODME是菱形．