Question

【题目】如图，点为矩形的对角线上一动点，，，点为边的中点，则周长的最小值是_________．

Answer 1

【答案】

【解析】

先确定出点P的位置,再求出∠CBD=30°，进而判断出△BCC是等边三角形,即可得出结论．

解：如图,作点C关于BD的对称点C,连接EC交BD于点P,连接PC,

∵点C与点C是关于BD的对称点,
∴CP=CP,
∴CP+PE=CP+PE=CE,

在BD上任取异于点P的P，连接PE,PC,CP,
CP+PE=PC+PE>CE,
∴点P就是所要求作的点，EC的长度PE + PC的最小值,

∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BCD=90°
∵DC=AB=2,
∵tan∠CBD=
∴∠ CBD= 30°,
∴点C和点C关于BD对称，设CC交BD于G,
∴ BD是CC的垂直平分线，连接BC
∴∠CBD=∠CBD=30°, BC=BC,
∴∠ CBC= 60°,
∴△BCC是等边三角形,
∵点E是BC的中点，∴CE⊥BC,
∴CE=
∴PC+PE=3, ∵E是BC的中点，∴CE=

∴周长的最小值是:PC+PE+CE=3+

故答案为：3+