Question

如图，已知直线l经过点A（1，0），与双曲线y=（x＞0）交于点B（2，1）．过点P（p，p-1）（p＞1）作x轴的平行线分别交双曲线y=（x＞0）和y=-（x＜0）于点M、N．
（1）求m的值和直线l的解析式；
（2）若点P在直线y=2上，求证：△PMB∽△PNA；
（3）是否存在实数p，使得S_△AMN=4S_△AMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）解：∵B（2，1）在双曲线y=（x＞0）上，
∴m=2，
设直线l的解析式为y=kx+b，
则，
解得，
∴直线l的解析式为y=x-1；

（2）证明：∵点P（p，p-1）（p＞1），点P在直线y=2上，
∴p-1=2，
解得p=3，
∴P（3，2），
∴PM=2，PN=4，PA=2，PB=，
∵∠BPM=∠APN，PM：PN=PB：PA=1：2，
∴△PMB∽△PNA；

（3）解：存在实数p，使得S_△AMN=4S_△AMP．
∵P（p，p-1）（p＞1），
∴点M、N的纵坐标都为p-1，
将y=p-1代入y=和y=-，
得x=和x=-，
∴M、N的坐标分别为（，p-1），（-，p-1），
①当1＜p＜2时，
MN=，PM=-p，
∵S_△AMN=MN×（p-1）=2，S_△AMP=MP×（p-1）=-p²+p+1，
S_△AMN=4S_△AMP，
∴2=4×（-p²+p+1），
整理，得p²-p-1=0，
解得：p=，
∵1＜p＜2，
∴p=，
②当p＞2时，
MN=，PM=p-，
∵S_△AMN=MN×（p-1）=2，S_△AMP=MP×（p-1）=p²-p-1，
S_△AMN=4S_△AMP，
∴2=4×（p²-p-1），
整理，得p²-p-3=0，解得p=，
∵p大于2，
∴p=，
∴存在实数p=或使得S_△AMN=4S_△AMP．
分析：（1）将点B的坐标代入即可得出m的值，设直线l的解析式为y=kx+b，再把点A、B的坐标代入，解方程组求得k和b即可得出直线l的解析式；
（2）根据点P在直线y=2上，求出点P的坐标，再证明△PMB∽△PNA即可；
（3）先假设存在，利用S_△AMN=4S_△AMP．求得p的值，看是否符合要求．
点评：本题考查的知识点是反比例函数的综合题，以及用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质．