Question

7．如图，AB是⊙O的弦，AB=10，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M、N分别是AB、BC的中点，则MN长的最大值是5$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据中位线定理得到MN的最大时，AC最大，当AC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．

解答 解：∵点M，N分别是AB，BC的中点，
∴MN=$\frac{1}{2}$AC，
∴当AC取得最大值时，MN就取得最大值，
当AC时直径时，最大，如图所示，
∵∠ACB=∠D=45°，AB=10，∠ABD=90°，
∴AD=$\sqrt{2}$AB=10$\sqrt{2}$，
∴MN=$\frac{1}{2}$AD=5$\sqrt{2}$，
故答案为：5$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解题的关键是了解当什么时候MN的值最大，难度不大．