Question

18．如图，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB．
（1）当∠A=80°时，∠O=130度．
（2）请用式子表示出∠A与∠O的数量关系，并写出过程．
（3）当∠O=110°时，求∠A的度数？（直接代入（2）的结果求解）．

Answer 1

分析 （1）根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据角平分线定义求出∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，求出∠OBC+∠OCB，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=180°-∠A，根据角平分线定义得出∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，求出∠OBC+∠OCB=90°-$\frac{1}{2}$∠A，根据三角形内角和定理求出即可；
（3）把∠O=110°代入∠O=90°+$\frac{1}{2}$∠A求出即可．

解答 解：（1）∵∠A=80°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-80°=100°，
∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}×$100°=50°，
∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=130°，
故答案为：130；      

（2）∠O=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
理由是：∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°-$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）
=180°-（90°-$\frac{1}{2}$∠A）
=90°+$\frac{1}{2}$∠A；

（3）把∠O=110°代入∠O=90°+$\frac{1}{2}$∠A得：110°=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
解得：∠A=40°．

点评 本题考查了三角形内角和定理和角平分线定义的应用，能求出∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）是解此题的关键，注意：三角形的内角和等于180°．