Question

【题目】矩形ABCD中，点P在对角线BD上（点P不与点B重合），连接AP，过点P作PE⊥AP交直线BC于点E．

（1）如图1，当AB＝BC时，猜想线段PA和PE的数量关系：　　；

（2）如图2，当AB≠BC时．求证：

（3）若AB＝8，BC＝10，以AP，PE为边作矩形APEF，连接BF，当PE＝时，直接写出线段BF的长．

Answer 1

【答案】（1）线段PA和PE的数量关系为：PA＝PE，理由见解析；（2）见解析；（3）线段BF的长为或

【解析】

（1）过点P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于，根据正方形的性质，可证得PM=PN， ∠APM＝∠EPN，即可证得△APM≌△EPN，得到PA＝PE

（2）过点P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，根据矩形的性质可证得∠APM＝∠EPN，再证明△APM∽△EPN，得到再证明△BPM∽△BDA，△BPN∽△BDC，

得到相似比，，即可得出

（3）①当P在O的右上方时，由（2）得：，得PA长度，再求出BD、AO长度，

因为tan∠ABD＝可求得BO，利用勾股定理求得OP，即可求出BP，根据四边形APEF是矩形，可求出PF＝AE长度，QB、QA，证得点A、P、E、B、F五点共圆，AE、PF为圆的直径，所以∠PBF＝90°，即可求得BF．

②当P在O的左下方时，用同样的方法可求得AO、BO、OP、PF、BP，可得：点A、P、E、B、F五点共圆，AE、PF为圆的直径，所以∠PBF＝90°，利用勾股定理即可求得BF．

（1）线段PA和PE的数量关系为：PA＝PE，理由如下：

过点P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，如图1所示：

∵四边形ABCD是矩形，AB＝BC，

∴四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，

∴PM＝PN，

∴四边形MBNP是正方形，

∴∠MPN＝90°，

∵PE⊥AP，

∴∠APE＝90°，

∴∠APM+∠MPE＝90°，∠EPN+∠MPE＝90°，

∴∠APM＝∠EPN，

在△APM和△EPN中，，

∴△APM≌△EPN（ASA），

∴PA＝PE，

故答案为：PA＝PE；

（2）过点P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，如图2所示：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC，CD＝AB，AD⊥AB，CD⊥BC，∠ABC＝90°，

∴四边形MBNP是矩形，

∴∠MPN＝90°，

∵PE⊥AP，

∴∠APE＝90°，

∴∠APM+∠MPE＝90°，∠EPN+∠MPE＝90°，

∴∠APM＝∠EPN，

∵∠AMP＝∠ENP＝90°，

∴△APM∽△EPN，

∴

∵PM⊥AB，PN⊥BC，AD⊥AB，CD⊥BC，

∴PM∥AD，PN∥CD，

∴△BPM∽△BDA，△BPN∽△BDC，

∴，，

∴，

∴

∴

（3）连接AE、PF交于Q，连接QB，过点A作AO⊥BD于O，

①当P在O的右上方时，如图3所示：

由（2）得：

∴PA＝PE＝

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC＝10，∠BAD＝90°，

∴BD＝

∵AO⊥BD，

∵△ABD的面积＝

∴

∵tan∠ABD＝

∴

解得：BO＝

由勾股定理得：OP＝

∴BP＝BO+OP＝

∵四边形APEF是矩形，

∴∠AEP＝90°，AE＝PE，QA＝QE＝QP＝QF，

∴PF＝AE＝

∵∠ABE＝90°，

∴QB＝AE＝QE，

∴QA＝QE＝QP＝QF＝QB，

∴点A、P、E、B、F五点共圆，AE、PF为圆的直径，

∴∠PBF＝90°，

∴BF＝

②当P在O的左下方时，如图4所示：

同理可得：AO＝，BO＝，OP＝，PF＝，

则BP＝BO﹣OP＝，

同理可得：点A、P、E、B、F五点共圆，AE、PF为圆的直径，

∴∠PBF＝90°，

∴BF＝

综上所述，当PE＝时，线段BF的长为或．

故答案为：或