Question

如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．
（1）求证：BE=CE；
（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：AE=2BD．

Answer 1

分析：（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得AD垂直平分BC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BE=CE；
（2）判断出△ABF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AF=BF，再根据同角的余角相等求出∠CBF=∠AEF，然后利用“角边角”证明△AEF和△BCF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=BC，从而得证．

解答：证明：（1）∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD垂直平分BC，
∴BE=CE；

（2）∵∠BAC=45°，BF⊥AC，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AF=BF，
∵BF⊥AC，
∴∠CBF+∠C=90°，
∵AD垂直平分BC，
∴∠EAF+∠C=90°，BC=2BD，
∴∠CBF=∠EAF，
在△AEF和△BCF中，

∠CBF=∠EAF AF=BF ∠AFE=∠BFC

，
∴△AEF≌△BCF（ASA），
∴AE=BC，
∴AE=2BD．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质准确确定出全等三角形是解题的关键．