Question

14．如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在正方形ABCD的内部，延长AF交CD于点G．
（1）猜想并证明线段GF与GC的数量关系；
（2）若将图1中的正方形改成矩形，其它条件不变，如图2，那么线段GF与GC之间的数量关系是否改变？请证明你的结论；
（3）若将图1中的正方形改成平行四边形，其它条件不变，如图3，那么线段GF与GC之间的数量关系是否会改变？请证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）判定直角三角形△ECG和△EFG全等，和全等三角形对应边相等的性质；
（2）判定直角三角形△ECG和△EFG全等，和全等三角形对应边相等的性质；
（3）判定△ECG和△EFG全等，根据全等三角形对应边相等性质即可证明．

解答 解：（1）FG=CG，理由如下：
∵E是BC的中点
∴BE=CE
∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE
∴BE=EF，
∴EF=EC；
同样，在折叠中，∠B=∠EFA=90°
又∵∠C=∠B，∠EFG=∠EFA
∴∠C=∠EFG=90°
∵EG=EG，
∴△ECG≌△EFG
∴FG=CG；
（2）不会改变．
证明：连接EG

∵E是BC的中点
∴BE=CE
∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE
∴BE=EF，
∴EF=EC；
同样，在折叠中，∠B=∠EFA=90°
又∵∠C=∠B，∠EFG=∠EFA
∴∠C=∠EFG=90°
∵EG=EG，
∴△ECG≌△EFG
∴FG=CG；
（3）不会改变．
证明：连接EG、FC

∵E是BC的中点
∴BE=CE
∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE
∴BE=EF，∠B=∠AFE
∴EF=EC
∴∠EFC=∠ECF
∵矩形ABCD改为平行四边形
∴∠B=∠D
∵∠ECD=180°-∠D，∠EFG=180°-∠AFE=180°-∠B=180°-∠D
∴∠ECD=∠EFG
∴∠GFC=∠GFE-∠EFC=∠ECG-∠ECF=∠GCF
∴∠GFC=∠GCF
∴FG=CG
即（1）中的结论仍然成立．

点评 本题考查了学生对直角三角形全等的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质．