Question

【题目】如图，已知二次函数的顶点P的横坐标为，且与y轴交于点C（0，－4）．

（1）求b，c的值；

（2）直线y=m(m>0)与该抛物线的交点为M，N（点M在点N的左侧）点M关于y轴的对称点为点M，点H的坐标为（3，0）．若四边形ONMH的面积为18．求点H到OM的距离；

（3）是否在对称轴的同侧存在实数m、n(m<n)，当 时，y的取值范围为 ？若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）b=3,c=-4；（2）；（3）的取值范围为，此时m=-3，n=-2

【解析】

（1）根据二次函数顶点坐标公式和C点的坐标列出二元一次方程组，求出b、c的值．
（2）首先设设M(t,m)，则N(3+t,m)，M'(t,m)，其中t>0，进而表示出M'N＝3＝OH，可知四边形ONM'H为平行四边形，从而求出四边形ONM'H的高．所以M(5,6)，M'(5,6)，N(2,6)，再求出OM'的长度．最后根据三角形面积公式求出点H到OM′的距离；
（3）根据题意，分两种情况：①当时；②当时；然后根据二次函数的最值的求法，求出满足题意的实数m、n(m<n)，使得当m≤x≤n时，y的取值范围为为即可.

解：（1）由题意可得，

，解得，；

（2）连接．设，则，，其中，

，的坐标为，

，，四边形为平行四边形，

，，

，代入，得，

解得，（不符合题意，舍去），

，，

又，

点到的距离；

（3）分两种情况讨论：

①当，即、在对称轴的左侧时，二次函数的值随增大而减小，

，

，（1）得，

，解得或2或，同理由（2）得

或2或3，

，，；

②当，即、在对称轴的右侧时，二次函数的值随增大而增大，

，

，（1），得，

，，

，，

将代入（2）

，

，得

，与上述矛盾，

没有满足的、．

综上，在对称轴的左侧存在实数、，当时，的取值范围为，此时m=-3，n=-2．