Question

某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完．该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润y₁（元）与国内销售量x（千件）的关系为：

y₁=

若在国外销售，平均每件产品的利润y₂（元）与国外的销售数量t（千件）的关系为

y₂=

（1）用x的代数式表示t为：t=　6﹣x　；当0＜x≤4时，y₂与x的函数关系为：y₂=　5x+80　；当　4　＜x＜　6　时，y₂=100；

（2）求每年该公司销售这种健身产品的总利润w（千元）与国内销售数量x（千件）的函数关系式，并指出x的取值范围；

（3）该公司每年国内、国外的销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值为多少？

Answer 1

考点：

二次函数的应用．

分析：

（1）由该公司的年产量为6千件，每年可在国内、国外市场上全部售完，可得国内销售量+国外销售量=6千件，即x+t=6，变形即为t=6﹣x；

根据平均每件产品的利润y₂（元）与国外的销售数量t（千件）的关系及t=6﹣x即可求出y₂与x的函数关系：当0＜x≤4时，y₂=5x+80；当4≤x＜6时，y₂=100；

（2）根据总利润=国内销售的利润+国外销售的利润，结合函数解析式，分三种情况讨论：①0＜x≤2；②2＜x≤4；③4＜x＜6；

（3）先利用配方法将各解析式写成顶点式，再根据二次函数的性质，求出三种情况下的最大值，再比较即可．

解答：

解：（1）由题意，得x+t=6，

∴t=6﹣x；

∵，

∴当0＜x≤4时，2≤6﹣x＜6，即2≤t＜6，

此时y₂与x的函数关系为：y₂=﹣5（6﹣x）+110=5x+80；

当4≤x＜6时，0≤6﹣x＜2，即0≤t＜2，

此时y₂=100．

故答案为6﹣x；5x+80；4，6；

（2）分三种情况：

①当0＜x≤2时，w=（15x+90）x+（5x+80）（6﹣x）=10x²+40x+480；

②当2＜x≤4时，w=（﹣5x+130）x+（5x+80）（6﹣x）=﹣10x²+80x+480；

③当4＜x＜6时，w=（﹣5x+130）x+100（6﹣x）=﹣5x²+30x+600；

综上可知，w=；

（3）当0＜x≤2时，w=10x²+40x+480=10（x+2）²+440，此时x=2时，w_最大=600；

当2＜x≤4时，w=﹣10x²+80x+480=﹣10（x﹣4）²+640，此时x=4时，w_最大=640；

当4＜x＜6时，w=﹣5x²+30x+600=﹣5（x﹣3）²+645，4＜x＜6时，w＜640；

∴x=4时，w_最大=640．

故该公司每年国内、国外的销售量各为4千件、2千件，可使公司每年的总利润最大，最大值为64万元．

点评：

本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，有一定难度．涉及到一次函数、二次函数的性质，分段函数等知识，进行分类讨论是解题的关键．