Question

9．如图，正方形ABCD中，AB=8，AE=6，EF∥AB，连接BE，连接对角线AC交EF于G，交BE于O．
（1）如图（1）所示，直接写出△AOE相似的三角形，不需证明；
（2）求图（1）中OG的长；
（3）如图（2）所示，若点P是线段CG的中点，试判断△EPB的形状，并证明．

Answer 1

分析 （1）结论：△AOE∽△COB，由AE∥BC，即可证明△AOE∽△COB．
（2）首先证明△AEG是等腰直角三角形，求出AG，由EG∥AB，推出$\frac{AB}{EG}$=$\frac{OA}{OG}$=$\frac{8}{6}$=$\frac{4}{3}$，由此即可解决问题．
（3）结论：△EPB是等腰三角形．如图2中，作PM⊥AD于M，MP的延长线交BC于N，只要证明△PME≌△BNP即可解决问题．

解答 解：（1）结论：△AOE∽△COB．
理由：如图1中，∵四边形ABCD是正方形，
∴AE∥BC，
∴△AOE∽△COB．

（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴AC平分∠DAB，
∴∠EAG=∠GAB=45°，
∵EG∥AB，
∴∠AGE=∠BAG=45°，∠AEG=90°，
∴∠EAG=∠EGA，
∴EA=EG=6，AG=6$\sqrt{2}$，
∴$\frac{AB}{EG}$=$\frac{OA}{OG}$=$\frac{8}{6}$=$\frac{4}{3}$，
∴OG=$\frac{3}{7}$AG=$\frac{18\sqrt{2}}{7}$．

（3）结论：△EPB是等腰三角形．
理由：如图2中，作PM⊥AD于M，MP的延长线交BC于N．
∵∠NMD=∠D=∠DCN=90°，
∴四边形MDCN是矩形，
∴DM=CN，NM=DC，
同理可得EF=CD．DE=CF，
∵PG=PC，PN∥FG，
∴CN=FN，
∵∠NCP=∠CPN=45°，
∴PN=CN=FN=DM=EM，
∵NM=BC，PN=CN，
∴PM=BN，
在△PME和△BNP中，
$\left\{\begin{array}{l}{PM=BN}\\{∠PME=∠BNP}\\{EM=PN}\end{array}\right.$，
∴△PME≌△BNP，
∴PE=PB，
∴△PEB是等腰三角形．

点评 本题考查相似三角形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．