Question

在平面直角坐标系中，直线y=kx+b（k为常数且k≠0）分别交x轴、y轴于点A、B，⊙O半径为个单位长度．
（1）如图甲，若点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，且OA=OB．
①求k的值；
②若b=4，点P为直线y=kx+b上的动点，过点P作⊙O的切线PC、PD，切点分别为C、D，当PC⊥PD时，求点P的坐标．
（2）若k=，直线y=kx+b将圆周分成两段弧长之比为1：2，求b的值．（图乙供选用）

Answer 1

【答案】分析：（1）①由题意可得B的坐标，又由OA=OB可得到点A的坐标，把坐标代入解析式消去b，可求得k的值；
②要求p点的坐标，可先设出坐标，找关系列出方程可求解，要列方程必须先求出OP的大小，于是借助等腰直角三角形进行解答，答案可得．
（2）此题分两种情形，当直线y=kx+b将圆周分成两段弧长之比为1：2，可得所对圆心角为120°，得出弦心距OC的值，直线y=kx+b中，得出，再根据AC、AO的值，求出直线与与x轴交点坐标，再根据直线与y轴交于点（，0）得出b的值，当直线与x轴、y轴的负半轴相交，同理可求b的值．
解答：解：（1）①根据题意得：B的坐标为（0，b），
∴OA=OB=b，
∴A的坐标为（b，0），
代入y=kx+b得：k=-1．
②过P作x轴的垂线，垂足为F，连接OD、OP，
∵PC、PD是⊙O的两条切线，∠CPD=90°，
∴∠OPD=∠OPC=∠CPD=45°，
∵∠PDO=90°，∠POD=∠OPD=45°，
∴OD=PD=，OP=
∵点P为直线y=kx+b上的动点，
∴P在直线y=-x+4上，
设P（m，-m+4），则OF=m，PF=-m+4，
∵∠PFO=90°，Rt△POF中根据勾股定理得：OF²+PF²=PO²，
∴m²+（-m+4）²=（）²，
解得m=1或3，
∴P的坐标为（1，3）或（3，1）


（2）分两种情形，y=-x+，或y=-x-．
直线y=kx+b将圆周分成两段弧长之比为1：2，
可知其所对圆心角为120°，
如图，画出弦心距OC，可得弦心距OC=，
又∵直线y=kx+b中
∴直线与x轴交得的锐角的正切值为，即，
∴AC=，∴AO=，即直线与与x轴交于点（，0）．
∴直线与y轴交于点（0，），
∴b=．
当直线与x轴、y轴的负半轴相交，同理可求：b=．
综合以上得：b=或．

点评：本题考查了一次函数的综合应用；有函数参与的几何题往往要找出等量关系后利用函数的解析式列方程进行解答，这种数形结合的思想非常重要，要认真掌握．