Question

3．已知，OA=OC，OB=OD，∠AOC=∠B0D，直线AB、CD相交于P．
①如图1，若∠AOC=∠BOD=90°，则∠APD=90°，并证明；
②如图2，若∠AOC=∠BOD=60°，则∠APD=120°，并证明．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到∠1=∠2，证得△OAB≌△OCD，根据全等三角形的性质得到∠OBA=∠ODC，于是得到∠PBD=180°-∠ABO-∠OBD=180°-45°-∠ODC=180°-45°-45°-∠BOP=90°-∠BDP，证得∠PBD+∠BOP=90°，即可得到结论；
（2）同（1）得到∠ABO=∠CDO，求得∠PBD=180°-∠ABO-∠OBD=180°-∠CDO-60°=180°-60°-60°-∠BDP，推出∠PBD+∠BOP=120°-60°=60°，于是得到结论．

解答 解：（1）∠APD=90°，
理由：∵∠1+∠3=∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
在△OAB与△ODC中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OC}\\{∠1=∠2}\\{OB=OD}\end{array}\right.$，
∴△OAB≌△OCD，
∴∠OBA=∠ODC，
∴∠PBD=180°-∠ABO-∠OBD=180°-45°-∠ODC=180°-45°-45°-∠BOP=90°-∠BDP，
∴∠PBD+∠BOP=90°，
∴∠APD=180°-90°=90°．
故答案为：90°；

（2）∠APD=120°，
理由：同（1）得到∠ABO=∠CDO，
∴∠PBD=180°-∠ABO-∠OBD=180°-∠CDO-60°=180°-60°-60°-∠BDP，
∴∠PBD+∠BOP=120°-60°=60°，
∴∠APD=180°-60°=120°．
故答案为：120°．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．