Question

5．余姚洪灾发生后不久，我市志愿者为奉献爱心，组织部分志愿者贷款购进一批商品，把销售的利润捐献给受灾人民，若每件进价为40元，经过市场调查，一周的销售量y（件）与销售单价x（元/件）（x≥50）成一次函数关系，收集部分数据如表：

销售单价x（元/件）	…	55	60	70	75	…
一周的销售量y（件）	…	450	400	300	250	…

（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）设一周的销售利润为S元，请求出S与x的函数表达式，并确定当销售单价在什么范围内变化时，一周的销售利润随着销售单价的增大而增大？
（3）在志愿者们购进该商品的货款不超过10000元并在一周内销售完的情况下，求最大捐款数额．

Answer 1

分析 （1）设y=kx+b，把点的坐标代入解析式，求出k、b的值，即可得出函数解析式；
（2）根据利润=（售价-进价）×销售量，列出函数关系式，继而确定销售利润随着销售单价的增大而增大的销售单价的范围；
（3）根据购进该商品的贷款不超过10000元，求出进货量，然后求最大利润即可．

解答 解：（1）设y=kx+b，
由题意得，$\left\{\begin{array}{l}{55k+b=450}\\{60k+b=400}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-10}\\{b=1000}\end{array}\right.$，
则函数关系式为：y=-10x+1000；

（2）由题意得，S=（x-40）y
=（x-40）（-10x+1000）
=-10x²+1400x-40000
=-10（x-70）²+9000，
∵-10＜0，
∴函数图象开口向下，对称轴为直线x=70，
∴当50≤x≤70时，销售利润随着销售单价的增大而增大；

（3）∵购进该商品的货款不超过10000元，
∴y的最大值为$\frac{10000}{40}$=250（件）．
由（1）知y随x的增大而减小，
∴x的最小值为：x=75，
由（2）知 当x≥70时，S随x的增大而减小，
∴当x=75时，销售利润最大，
此时S=8750，即该商家最大捐款数额是8750元．

点评 本题考查了二次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．