Question

20．如图，直线y=x-4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=$\frac{1}{3}$x²+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C，连接BC．

（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）将抛物线y=$\frac{1}{3}{x^2}$+bx+c向上平移2$\frac{1}{12}$个单位长度，再向右平移|m|（m＜0）个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；
（3）点M在抛物线上，连接MB，当∠MBA+∠CBO=45°时，求点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）分别代入x=0、y=0求出与之对应的y、x值，即求出点A、B的坐标，根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再抛物线解析式中y=0求出x值即可得出点C的坐标；
（2）根据抛物线的解析式求出抛物线的顶点坐标，再根据图形平移的性质找出点P的坐标，结合点P在△ABC内即可得出关于m的不等式，解不等式即可求出m的取值范围；
（3）过点B作BE⊥BC交x轴于点E，通过角的计算找出点M为直线BE与抛物线的交点，根据相似三角形的性质求出点E的坐标，再根据待定系数法求出直线BE的解析式，联立直线BE与抛物线的解析式成方程组，解方程组即可得出点M的坐标．

解答 解：（1）当x=0时，y=-4，
∴点B的坐标为（0，-4）；
当y=0时，x=4，
∴点A的坐标为（4，0）．
将点A（4，0）、B（0，-4）代入y=$\frac{1}{3}$x²+bx+c中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{0=\frac{1}{3}×16+4b+c}\\{-4=c}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{1}{3}}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{1}{3}$x-4．
当y=0时，有$\frac{1}{3}$x²-$\frac{1}{3}$x-4=0，
解得：x₁=-3，x₂=4．
∴点C的坐标为（-3，0）．
（2）∵y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{1}{3}$x-4=$\frac{1}{3}$$（x-\frac{1}{2}）^{2}$-4$\frac{1}{12}$，
∴原抛物线的顶点坐标为（$\frac{1}{2}$，-4$\frac{1}{12}$）．
∵将点（$\frac{1}{2}$，-4$\frac{1}{12}$）向上平移2$\frac{1}{12}$个单位长度，再向右平移|m|（m＜0）个单位长度得到点P，
∴点P的坐标为（$\frac{1}{2}$+|m|，-2）．
∵点P在△ABC内，
∴点P在线段AB的上方．
当y=-2时，有x-4=-2，
解得：x=2，
∴$\frac{1}{2}$+|m|＜2，
解得：-$\frac{3}{2}$＜m＜$\frac{3}{2}$．
∴若新抛物线的顶点P在△ABC内，m的取值范围为-$\frac{3}{2}$＜m＜$\frac{3}{2}$．
（3）过点B作BE⊥BC交x轴于点E，如图所示．
∵A（4，0），B（0，-4），
∴∠ABO=45°，
∵∠MBA+∠CBO=45°，BC⊥BE，
∴∠MBA=∠EBA，
∴直线BE与抛物线的交点为点M．
设点E的坐标为（n，0）（n＞0），
∵∠BCO=∠ECB，∠BOC=∠EBC=90°，
∴△BCO∽△ECB，
∴$\frac{OC}{BC}=\frac{BC}{EC}$．
∵B（0，-4），C（-3，0），E（n，0），
∴OC=3，EC=n-（-3）=n+3，BC=$\sqrt{[0-（-3）]^{2}+（-4-0）^{2}}$=5，
∴$\frac{3}{5}=\frac{5}{n+3}$，
解得：n=$\frac{16}{3}$，
经检验n=$\frac{16}{3}$是分式方程$\frac{3}{5}=\frac{5}{n+3}$的解，
∴点E的坐标为（$\frac{16}{3}$，0）．
设直线BE的解析式为y=kx-4，
将点E（$\frac{16}{3}$，0）代入y=kx-4中，
得：0=$\frac{16}{3}$k-4，解得：k=$\frac{3}{4}$，
∴直线BE的解析式为y=$\frac{3}{4}$x-4．
联立直线BE与抛物线解析式成方程组，得：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x-4}\\{y=\frac{1}{3}{x}^{2}-\frac{1}{3}x-4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-4}\end{array}\right.$（舍去）或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{39}{12}}\\{y=-\frac{25}{16}}\end{array}\right.$，
∴点M的坐标为（$\frac{39}{12}$，-$\frac{25}{16}$）．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点、一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式以及相似三角形的判定及性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）找出关于m的不等式；（3）找出点M的位置．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．