Question

【题目】（1）已知：如图1，AB是的直径，点P为上一点（且点P不与A、B重合）连接PA，PB，的角平分线PC交于点C.

①若，求AB的长

②求证：

（2）如图2，在正方形ABCD中，，若点P满足，且，请直接写出点B到AP的距离.

Answer 1

【答案】（1）①，②见解析；（2）或

【解析】

（1）①由AB是的直径，在Rt中，利用勾股定理可求得AB的长；

②延长到，使，构造

和中，

在同圆中利用圆周角相等，所对弧相等，所对的弦相等，证明，

利用圆内接四边形的一个外角等于不相邻的内角，证明，

BD=PA为所作，所以(SAS)

从而证得：,

易证明是直角三角形，利用勾股定理可证明结论.

(2)要满足，P点一定落在正方形的外接圆上，分两种情况：

P点在上或P点在上,

在RtABC和RtAPC中，可求得AC、AP的长，

利用同圆中同弧所对圆周角相等，证得，

证得：RtQPB为等腰直角三角形，

设BQ＝x，把已知和未知归结到RtQAB中，利用方程思想可以求得x的值.

（1）①AB是的直径，∴，

在Rt中，，

∴,

故答案是：

②如图，延长AB到D，使，连接

∵PC是的平分线，

∴，

四边形APBC是圆内接四边形，

∴

在和中，

∴(SAS)

∴,

∵

∴即

在Rt中，

即：

∴

（2）要满足，P点一定在正方形的外接圆上，分两种情况：

第一种情况，P点在上，如图：连接,作,

在中，，∴AC=,

在中，,由勾股数可得：，

，

在中，, ∴,

设，则，

在中，

即,化简得：

即,解得：，（不合题意，舍去）

故答案为：.

第二种情况，P点在上，如图：

依照第一种情况得出的数据，

在中，, ∴PE=BE,

设，则，

在中，

即,化简得：

即,解得：（不合题意，舍去），

故答案为：.

综上：点B到AP的距离是或.