Question

【题目】新定义：对于关于的函数，我们称函数为函数y的m分函数（其中m为常数）.

例如：对于关于x一次函数的分函数为

（1）若点在关于x的一次函数的分函数上，求的值；

（2）写出反比例函数的分函数的图象上y随x的增大而减小的x的取值范围： ；

（3）若是二次函数关于x的分函数，

①当时，求y的取值范围；

②当时，，则的取值范围为 ；

③若点，连结，当关于的二次函数的分函数，与线段MN有两个交点，直接写出m的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）n=3；（2）或；（3）①或；②；③m＜或≤m＜或≤m.

【解析】

（1）首先写出一次函数 的分函数，然后将点P代入即可求出n；

（2）首先写出反比例函数的分函数，然后根据反比例函数的增减性进行判定；

（3）①首先写出二次函数的分函数，然后根据x的取值范围结合二次函数的性质分别求出对应的y的取值范围即可；

②首先求出当时，的取值范围为，当时，，然后根据可知，求出时的值在-3和-4之间（包含-3和-4）对应的x的取值范围即可；

③画出和的函数图像，求出两函数图象与y=1的交点的横坐标，然后结合函数图象分类讨论，分别求出在不同的范围内与线段MN的交点个数，即可得到符合题意的m的取值范围.

解：（1）由题意得：，

∵，

∴把代入得，

∴；

（2）由题意得：，

根据函数解析式可知，当或时，y随x的增大而减小；

（3）①由题意得：，

当时，的图象y随x的增大而减小，

把代入，可得，

把代入，可得；

当时，的图象y随x的增大而减小，

把代入，可得，

把代入，可得，

综上，的取值范围为或；

②∵把代入，可得，

把代入，可得；

∴当时，的取值范围为，

由①知，当时，，

把y＝－3代入，解得：（负值已舍去），

把y＝－4代入，解得：（负值已舍去），

∴的取值范围为；

③如图为和的函数图像，A、B、C、D分别是两函数图象与y=1的交点，

联立，解得：，

∴A点横坐标为，D点横坐标为，

联立，解得：，

∴B点横坐标为，C点横坐标为，

结合函数图象，分类讨论：

①当m＜时，关于的二次函数的分函数，与线段MN有两个交点；

②当≤m＜时，关于的二次函数的分函数，与线段MN有三个交点；

③当≤m＜时，关于的二次函数的分函数，与线段MN有两个交点；

④≤m＜时，关于的二次函数的分函数，与线段MN有一个交点；

⑤当≤m时，关于的二次函数的分函数，与线段MN有两个交点；

综上所述：m的取值范围是m＜或≤m＜或≤m.