Question

（2013•南宁）如图，抛物线y=ax²+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，-1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，-2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求证：AO=AM；
（3）探究：
①当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时

1

AM

+

1

BN

的值；
②试说明无论k取何值，

1

AM

+

1

BN

的值都等于同一个常数．

Answer 1

分析：（1）把点C、D的坐标代入抛物线解析式求出a、c，即可得解；
（2）根据抛物线解析式设出点A的坐标，然后求出AO、AM的长，即可得证；
（3）①k=0时，求出AM、BN的长，然后代入

1

AM

+

1

BN

计算即可得解；
②设点A（x₁，

1

4

x₁²-1），B（x₂，

1

4

x₂²-1），然后表示出

1

AM

+

1

BN

，再联立抛物线与直线解析式，消掉未知数y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出x₁+x₂，x₁•₂，并求出x₁²+x₂²，x₁²•x₂²，然后代入进行计算即可得解．

解答：（1）解：∵抛物线y=ax²+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，-1），
∴

4a+c=0 c=-1

，
解得

a= 1 4 c=-1

，
所以，抛物线的解析式为y=

1

4

x²-1；

（2）证明：设点A的坐标为（m，

1

4

m²-1），
则AO=

m2+( 1 4 m2-1)2

=

1

4

m²+1，
∵直线l过点E（0，-2）且平行于x轴，
∴点M的纵坐标为-2，
∴AM=

1

4

m²-1-（-2）=

1

4

m²+1，
∴AO=AM；

（3）解：①k=0时，直线y=kx与x轴重合，点A、B在x轴上，
∴AM=BN=0-（-2）=2，
∴

1

AM

+

1

BN

=

1

2

+

1

2

=1；

②k取任何值时，设点A（x₁，

1

4

x₁²-1），B（x₂，

1

4

x₂²-1），
则

1

AM

+

1

BN

=

1

1 4 x 2 1 +1

+

1

1 4 x 2 2 +1

=

4( x 2 1 +4 +x 2 2 +4)

(x 2 1 +4) (x 2 2 +4)

=

4( x 2 1 +x 2 2 +8)

x 2 1 • x 2 2 +4 (x 2 1 +x 2 2 )+16

，
联立

y=kx y= 1 4 x2-1

，
消掉y得，x²-4kx-4=0，
由根与系数的关系得，x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-4，
所以，x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=16k²+8，
x₁²•x₂²=16，
∴

1

AM

+

1

BN

=

4(16k2+8+8)

16+4(16k2+8)+16

=

64(k2+1)

64(k2+1)

=1，
∴无论k取何值，

1

AM

+

1

BN

的值都等于同一个常数1．

点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理以及点到直线的距离，根与系数的关系，根据抛物线上点的坐标特征设出点A、B的坐标，然后用含有k的式子表示出

1

AM

+

1

BN

是解题的关键，也是本题的难点，计算量较大，要认真仔细．