Question

模型建立：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．

求证：△BEC≌△CDA．
模型应用：
（1）已知直线l₁：y=

4

3

x+4与y轴交与A点，将直线l₁绕着A点顺时针旋转45°至l₂，如图2，求l₂的函数解析式．
（2）如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A、C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，设PC=m，已知点D在第一象限，且是直线y=2x-6上的一点，若△APD是不以A为直角顶点的等腰Rt△，请直接写出点D的坐标．

Answer 1

考点：一次函数综合题,全等三角形的应用,等腰直角三角形,矩形的性质

专题：压轴题

分析：（1）先根据△ABC为等腰直角三角形得出CB=CA，再由AAS定理可知△ACD≌△CBE；
（2）过点B作BC⊥AB于点B，交l₂于点C，过C作CD⊥x轴于D，根据∠BAC=45°可知△ABC为等腰Rt△，由（1）可知△CBD≌△BAO，由全等三角形的性质得出C点坐标，利用待定系数法求出直线l₂的函数解析式即可；
（3）当点D为直角顶点，分点D在矩形AOCB的内部与外部两种情况；点P为直角顶点，显然此时点D位于矩形AOCB的外部，由此可得出结论．

解答：（1）证明：∵△ABC为等腰直角三角形，
∴CB=CA，
又∵AD⊥CD，BE⊥EC，
∴∠D=∠E=90°，∠ACD+∠BCE=180°-90°=90°，
又∵∠EBC+∠BCE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
在△ACD与△CBE中，

∠D=∠E ∠ACD=∠EBC CA=CB

，
∴△ACD≌△EBC（AAS）；

（2）解：过点B作BC⊥AB于点B，交l₂于点C，过C作CD⊥x轴于D，如图1，
∵∠BAC=45°，
∴△ABC为等腰Rt△，
由（1）可知：△CBD≌△BAO，
∴BD=AO，CD=OB，
∵直线l₁：y=

4

3

x+4，
∴A（0，4），B（-3，0），
∴BD=AO=4．CD=OB=3，
∴OD=4+3=7，
∴C（-7，3），
设l₂的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴

3=-7k+b 4=b

，
∴

k= 1 7 b=4

，
∴l₂的解析式：y=

1

7

x+4；

（3）当点D位于直线y=2x-6上时，分两种情况：
①点D为直角顶点，分两种情况：
当点D在矩形AOCB的内部时，过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交直线BC于F，设D（x，2x-6）；
则OE=2x-6，AE=6-（2x-6）=12-2x，DF=EF-DE=8-x；
则△ADE≌△DPF，得DF=AE，即：
12-2x=8-x，x=4；
∴D（4，2）；
当点D在矩形AOCB的外部时，设D（x，2x-6）；
则OE=2x-6，AE=OE-OA=2x-6-6=2x-12，DF=EF-DE=8-x；
同1可知：△ADE≌△DPF，
∴AE=DF，即：2x-12=8-x，x=

20

3

；
∴D（

20

3

，

22

3

）；
②点P为直角顶点，显然此时点D位于矩形AOCB的外部；
设点D（x，2x-6），则CF=2x-6，BF=2x-6-6=2x-12；
同（1）可得，△APB≌△BDF，
∴AB=PF=8，PB=DF=x-8；
∴BF=PF-PB=8-（x-8）=16-x；
联立两个表示BF的式子可得：
2x-12=16-x，即x=

28

3

；
∴D（

28

3

，

38

3

）；
综合上面六种情况可得：存在符合条件的等腰直角三角形；
且D点的坐标为：（4，2），（

20

3

，

22

3

），（

28

3

，

38

3

）．

点评：本题考查的是一次函数综合题，涉及到点的坐标、矩形的性质、一次函数的应用、等腰直角三角形以及全等三角形等相关知识的综合应用，需要考虑的情况较多，难度较大．